Molla comprimida entre dues masses

Sobre una superfície horitzontal sense fricció, una molla de \( K = 0,3 \, \text{N/m} \) està comprimida 10 cm entre dues masses de 5 kg i d’1 kg. Si deixem de comprimir la molla:a) Quina és l’energia cinètica dels dos cossos? b) Quina és la quantitat de moviment de cada cos? c) Quina és l’energia cinètica de cada cos?

Dades inicials:

• Constant de la molla: \( K = 0,3 \, \text{N/m} \)
• Compressió de la molla: \( x = 10 \, \text{cm} = 0,1 \, \text{m} \)
• Massa 1: \( m_1 = 5 \, \text{kg} \)
• Massa 2: \( m_2 = 1 \, \text{kg} \)

• No hi ha fricció, per tant, l’energia es conserva.

• Les masses es mouen en direccions oposades després de deixar anar la molla.

a) Quina és l’energia cinètica dels dos cossos?

Primer calculem l’energia potencial elàstica emmagatzemada a la molla quan està comprimida. La fórmula de l’energia potencial elàstica és:\[E_{\text{pot}} = \frac{1}{2} K x^2\]Substituïm els valors donats:\[E_{\text{pot}} = \frac{1}{2} (0,3) (0,1)^2 = \frac{1}{2} (0,3) (0,01) = 0,0015 \, \text{J}\]Com que no hi ha fricció ni altres forces dissipatives, aquesta energia potencial es converteix completament en energia cinètica dels dos cossos quan la molla es deixa anar. Per tant:\[E_{\text{cinètic,total}} = E_{\text{pot}} = 0,0015 \, \text{J}\]

L’energia cinètica dels dos cossos junts és \( \mathbf{0,0015 \, \text{J}} \).

b) Quina és la quantitat de moviment de cada cos?

Com que la superfície és sense fricció i no hi ha forces externes, la quantitat de moviment total del sistema es conserva. Abans de deixar anar la molla, ambdues masses estan en repòs, per tant, la quantitat de moviment inicial és zero:\[p_{\text{total, inicial}} = 0\] Quan es deixa anar la molla, les masses es mouen en direccions oposades amb velocitats \( v_1 \) (per a \( m_1 \)) i \( v_2 \) (per a \( m_2 \)). La conservació de la quantitat de moviment ens dona:\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0\]Substituïm les masses:\[5 v_1 + 1 v_2 = 0 \implies v_2 = -5 v_1\] Això indica que la velocitat de la massa de 1 kg (\( v_2 \)) és 5 vegades la velocitat de la massa de 5 kg (\( v_1 \)), però en direcció oposada. Per trobar els valors de \( v_1 \) i \( v_2 \), fem servir l’energia cinètica total calculada a l’apartat a). L’energia cinètica total es pot expressar com:\[E_{\text{cinètic,total}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2\]Substituint \( v_2 = -5 v_1 \):\[E_{\text{cinètic,total}} = \frac{1}{2} (5) v_1^2 + \frac{1}{2} (1) (-5 v_1)^2\]\[= \frac{1}{2} (5) v_1^2 + \frac{1}{2} (1) (25 v_1^2) = \frac{5}{2} v_1^2 + \frac{25}{2} v_1^2 = \frac{30}{2} v_1^2 = 15 v_1^2\]Sabem que \( E_{\text{cinètic,total}} = 0,0015 \, \text{J} \), així que:\[15 v_1^2 = 0,0015 \implies v_1^2 = \frac{0,0015}{15} = 0,0001 \implies v_1 = \sqrt{0,0001} = 0,01 \, \text{m/s}\] Calculem \( v_2 \):\[v_2 = -5 v_1 = -5 (0,01) = -0,05 \, \text{m/s}\] Ara calculem la quantitat de moviment de cada cos:

• Per a \( m_1 \):\[p_1 = m_1 v_1 = 5 (0,01) = 0,05 \, \text{kg·m/s}\]

• Per a \( m_2 \):\[p_2 = m_2 v_2 = 1 (-0,05) = -0,05 \, \text{kg·m/s}\]. La quantitat de moviment de cada cos és:

• Per a la massa de 5 kg: \( \mathbf{0,05 \, \text{kg·m/s}} \)

• Per a la massa de 1 kg: \( \mathbf{-0,05 \, \text{kg·m/s}} \)

c) Quina és l’energia cinètica de cada cos?

L’energia cinètica de cada cos es calcula amb la fórmula \( E_{\text{cinètic}} = \frac{1}{2} m v^2 \):- Per a \( m_1 \):\[E_{\text{cinètic,1}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} (5) (0,01)^2 = \frac{1}{2} (5) (0,0001) = 0,00025 \, \text{J}\]- Per a \( m_2 \):\[E_{\text{cinètic,2}} = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} (1) (0,05)^2 = \frac{1}{2} (1) (0,0025) = 0,00125 \, \text{J}\]Comprovem que la suma coincideixi amb l’energia cinètica total:\[E_{\text{cinètic,1}} + E_{\text{cinètic,2}} = 0,00025 + 0,00125 = 0,0015 \, \text{J}\] Això coincideix amb l’energia potencial inicial, confirmant que els càlculs són correctes. L’energia cinètica de cada cos és:

• Per a la massa de 5 kg: \( \mathbf{0,00025 \, \text{J}} \)

• Per a la massa de 1 kg: \( \mathbf{0,00125 \, \text{J}} \)

Resum de les respostes:

a) L’energia cinètica dels dos cossos junts és \( \mathbf{0,0015 \, \text{J}} \).

b) La quantitat de moviment de cada cos és:

• Per a la massa de 5 kg: \( \mathbf{0,05 \, \text{kg·m/s}} \)

• Per a la massa de 1 kg: \( \mathbf{-0,05 \, \text{kg·m/s}} \)

c) L’energia cinètica de cada cos és:

• Per a la massa de 5 kg: \( \mathbf{0,00025 \, \text{J}} \)

• Per a la massa de 1 kg: \( \mathbf{0,00125 \, \text{J}} \)