Mòdul d’elasticitat

Sobre una proveta metàl·lica rectangular de 4 mm de gruix i 20 mm d’amplada, s’ha realitzat un assaig de tracció uniaxial, utilitzant un extensòmetre de 50 mm de longitud base, obtenint-se la corba càrrega-allargament que es mostra a continuació. a) Obtingueu, raonant cada pas de la resposta, el mòdul d’elasticitat del material (en GPa). b) Determineu raonadament el diàmetre que hauria de tenir una barra cilíndrica d’un sistema que treballa a tracció uniaxial per no trencar-se en servei en ser sotmesa a una càrrega de tracció de 255 kN, amb un coeficient de seguretat de 2,2. c) Calculeu la deformació total (en $\%$) que va experimentar la proveta durant l’assaig, raonant si el material és dúctil o fràgil a partir del resultat obtingut.

a) El mòdul elàstic és la constant de proporcionalitat entre la tensió aplicada i la deformació que experimenta el material en el règim elàstic. S’obté, per tant, prenent un valor de tensió en el tram elàstic i dividint entre la deformació corresponent produïda.

Escollint, per exemple, una càrrega de 50 kN, i donat que la secció transversal inicial de la proveta és:

$$S_0 = 4 \times 20 \text{ mm}^2 = 80 \text{ mm}^2$$

la tensió corresponent seria:

$$\sigma = \frac{F}{S_0} = \frac{50000 \text{ N}}{80 \text{ mm}^2} = 625 \text{ MPa}$$

Per a aquest valor de força, l’allargament que experimenta la proveta, segons es veu en el gràfic, és de 0,4 mm. Com que la longitud base de l’extensòmetre utilitzat per prendre dades és:

$$L_e = 50 \text{ mm}$$

la deformació s’obté com:

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_e} = \frac{0,4 \text{ mm}}{50 \text{ mm}} = 0,008 \text{ mm/mm}$$

Finalment, el mòdul elàstic serà:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{625 \text{ MPa}}{0,008 \text{ mm/mm}} = 78,1 \text{ GPa}$$

b) Càlcul del diàmetre de la barra cilíndrica

El material es trencarà en servei quan la càrrega de tracció aplicada arribi a la seva resistència a la tracció (o tensió de ruptura). Aquesta resistència es determina com el quocient entre la càrrega màxima suportada en l’assaig i la secció transversal inicial de la proveta:

$$R_m = \sigma_R = \frac{F_{max}}{S_0} = \frac{76000 \text{ N}}{80 \text{ mm}^2} = 950 \text{ MPa}$$

Si la barra ha de suportar 255 kN amb un coeficient de seguretat de 2,2, això implica que la ruptura no ha de produir-se quan s’apliquin:

$$2,2 \times 255 \text{ kN} = 561 \text{ kN}$$

La secció transversal de la barra que ha de suportar aquestes càrregues es calcula com:

$$\sigma_R = 950 \text{ MPa} = \frac{561000 \text{ N}}{S_{\text{barra}}}$$

$$S_{\text{barra}} = \frac{561000 \text{ N}}{950 \text{ MPa}} = 590,5 \text{ mm}^2$$

Com que es tracta d’una barra de secció circular, sabem que:

$$S_{\text{barra}} = \pi r^2$$

D’aquí, el radi de la barra serà:

$$r = \sqrt{\frac{590,5}{\pi}} = 13,7 \text{ mm}$$

c) Càlcul de la deformació total

Segons la corba càrrega-allargament, el material ha experimentat un allargament màxim abans de la ruptura de:

$$\Delta L_{\text{max}} = 8,5 \text{ mm}$$

Així, la deformació total que ha experimentat la proveta durant l’assaig ha estat:

$$\varepsilon_{\text{max}} = \frac{\Delta L_{\text{max}}}{L_e} = \frac{8,5 \text{ mm}}{50 \text{ mm}} = 0,17$$

$$\varepsilon_{\text{max}} = 17 \%$$

Atès aquest valor, es pot concloure que el material és dúctil, és a dir, capaç de deformar-se plàsticament de manera apreciable sota l’acció de càrregues abans de la ruptura.