Maximització dels ingressos d’un arbre

Un arbre té un volum de 30 m³ i, per la qualitat de la seva fusta, es ven a 50 € per metre cúbic. Cada any l’arbre augmenta el volum en 5 m³. A l’hora, la qualitat de la fusta de l’arbre disminueix, i també el preu, que cada any és un euro per metre cúbic més barat. D’aquí a quants anys aconseguirem el màxim d’ingressos per la venda de la fusta de l’arbre? Quins seran aquests ingressos?

Siguin $x$ els anys a partir d’ara.

• Volum al cap de $x$ anys:
  $V(x) = 30 + 5x$
• Preu al cap de $x$ anys:
  $P(x) = 50 – x$

Ingressos:
$$I(x) = V(x)\cdot P(x) = (30 + 5x)(50 – x)$$

Desenvolupem:
$$I(x) = 1500 + 250x – 30x – 5x^2 = 1500 + 220x – 5x^2$$

És una paràbola amb màxim al vèrtex:
$$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-220}{2(-5)} = 22$$

Resposta:

• Els ingressos són màxims al cap de 22 anys.
• Ingressos màxims:
  $$I(22) = (30 + 5\cdot 22)(50 – 22) = 140 \cdot 28 = 3920\ \text{euros}$$

Conclusió:
El millor moment per vendre és d’aquí a 22 anys, amb uns ingressos de 3920 €.