Matrius. Matriu inversa i càlcul matricial

Considerem les matrius: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \text{i} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

a) Determina els valors de $a$ per als quals la matriu $B$ no té inversa.

Perquè una matriu tingui inversa, ha de ser quadrada i el seu determinant ha de ser diferent de zero. Com que $B$ és quadrada ($3 \times 3$), calculem per a quins valors de $a$ el seu determinant és zero.

$$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 2 + 4a – 2a^2 – 2 – 0 = 4a – 2a^2$$

$$|B| = 0 \Leftrightarrow 4a – 2a^2 = 0 \Leftrightarrow 2a \cdot (2 – a) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a = 0 \\ a = 2 \end{array} \right.$$

Per tant, $B$ no té inversa si $a = 0$ o $a = 2$.

b) Per a $a = 1$, calcula $X$ tal que $AXB = C$, si és possible.

Per a $a = 1$, tenim:
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$
Calculem el determinant de $B$:
$$|B| = 0 + 2 + 4 – 2 – 2 – 0 = 2 \neq 0$$
Com que $|B| \neq 0$, $B$ té inversa.

Per a $A$:
$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – 0 \cdot (-2) = 1 \neq 0$$
Per tant, $A$ també té inversa.

Podem aïllar $X$ en l’equació $AXB = C$ multiplicant ambdós costats per les inverses adequades:
$$AXB = C \Rightarrow A^{-1}AXB = A^{-1}C \Rightarrow IXB = A^{-1}C \Rightarrow XB = A^{-1}C$$
$$\Rightarrow XBB^{-1} = A^{-1}CB^{-1} \Rightarrow XI = A^{-1}CB^{-1} \Rightarrow \boxed{X = A^{-1}CB^{-1}}$$

Calculem les inverses:

• Per a $A^{-1}$:
  $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A^T) = \frac{1}{1} \cdot \text{Adj}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \text{Adj}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$
• Per a $B^{-1}$:
  $$B^{-1} = \frac{1}{|B|} \cdot \text{Adj}(B^T) = \frac{1}{2} \cdot \text{Adj}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Ara calculem $X = A^{-1}CB^{-1}$:
$$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Primer, calculem $A^{-1}C$:
$$A^{-1}C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & 1 \cdot (-2) + 0 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & -5 \end{pmatrix}$$

Després, calculem ($A^{-1}C)B^{-1}$:
$$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + (-2) \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{2} + (-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + (-5) \cdot 1 & 4 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + (-5) \cdot 0 & 4 \cdot 0 + (-1) \cdot \frac{1}{2} + (-5) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} -1 + 0 – 2 & 1 + 0 + 0 & 0 + 0 + 1 \\ -4 – 1 – 5 & 4 + 1 + 0 & 0 – \frac{1}{2} + \frac{5}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ -10 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$

Per tant:
$$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ -10 & 5 & 2 \end{pmatrix}}$$

Versió en castellà