Llei d’Ohm i resistivitat

Amb un fil de constantà de $0.1$ mm de diàmetre es vol construir una resistència de $200$ V. Calcula la longitud que ha
de tenir el fil.

Per calcular la longitud del fil de constantà necessitem conèixer les seves propietats elèctriques. La constantà és una aleació metàl·lica que té una resistivitat elèctrica de $\rho = 49 \times 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m}$ i una densitat de $8.9\ \text{g}/\text{cm}^3$. Suposarem que el fil de constantà té el mateix diàmetre de $0.1\ \text{mm}$ que el fil anterior de coure.

La resistència elèctrica del fil de constantà ve donada per la llei d’Ohm:

$$R = \frac{V}{I}$$

on $V$ és la diferència de potencial que es vol obtenir a través del fil, i $I$ és la corrent que circula per ell. Si suposem que la corrent és de $1\ \text{A}$, llavors la resistència serà:

$$R = \frac{200 , \text{V}}{1\ \text{A}} = 200\ \Omega$$

La resistència elèctrica d’un fil de secció transversal circular ve donada per la fórmula:

$$R = \frac{\rho L}{A}$$

on $L$ és la longitud del fil, $A$ és l’àrea de la secció transversal i $\rho$ és la resistivitat del material del fil. L’àrea de la secció transversal d’un fil de diàmetre $d$ està donada per:

$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$

En el nostre cas, el diàmetre del fil és de $0.1\ \text{mm}$, que és igual a $0.0001\ \text{m}$. Llavors, l’àrea de la secció transversal serà:

$$A = \frac{\pi (0.0001\ \text{m})^2}{4} = 7.85 \times 10^{-9}\ \text{m}^2$$

Sustituint els valors de $R$, $A$ i $\rho$ en la fórmula de la resistència, obtenim:

$$200\ \Omega = \frac{(49 \times 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m}) L}{7.85 \times 10^{-9}\ \text{m}^2}$$

Després d’una simplificació algebraica, obtenim:

$$L = \frac{200\ \Omega \cdot 7.85 \times 10^{-9}\ \text{m}^2}{49 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot \text{m}} = 0.032\ \text{m}$$

Per tant, la longitud del fil de constantà ha de ser d’aproximadament $0.032\ \text{m}$ per obtenir una resistència de $200\ \Omega$ i una diferència de potencial de $200\ \text{V}$ a través del fil.