Llançament vertical cap amunt d’una pilota

Una pilota es llança des del terra amb una velocitat inicial de $v_0 = 15 \, \text{m/s}$

a) A quina alçada arriba?

b) Amb quina velocitat arriba a terra?

c) Si la velocitat de llançament fos el doble, quina seria la relació dels nous valors de l’alçada màxima i de la velocitat d’arribada a terra amb els inicials?

a) Alçada màxima

Quan la pilota arriba al punt més alt del seu trajecte, la seva velocitat és zero. Utilitzem la fórmula: $$v^2 = v_0^2 – 2g h \Rightarrow h = \frac{v_0^2}{2g}$$

Substituïm els valors: $$h = \frac{15^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{225}{19.6} \approx \boxed{11{,}48 \, \text{m}}$$

b) Velocitat en tornar a tocar terra

Negligint el fregament amb l’aire, el moviment és simètric. Per tant, la pilota arriba al terra amb la mateixa velocitat que la de llançament, però en sentit contrari: $$v = \boxed{-15 \, \text{m/s}}$$

c) Si la velocitat de llançament fos el doble

Suposem que ara $$v’_0 = 2v_0 = 30 \, \text{m/s}$$

• Velocitat d’arribada a terra:

El moviment segueix sent simètric i sense fregament, per tant: $$v’_f = -v’_0 = \boxed{-30 \, \text{m/s}} \quad \Rightarrow \text{el doble que abans}$$

• Alçada màxima:

$$h’ = \frac{(v’_0)^2}{2g} = \frac{30^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{900}{19.6} \approx \boxed{45{,}92 \, \text{m}}$$

Comparant amb l’alçada inicial $h = 11{,}48 \, \text{m}$: $$h’ = 4h$$

Conclusió final:

• Si la velocitat inicial es dobla, la velocitat d’arribada al terra també es dobla.
• L’alçada màxima es quadruplica.