Les vacances i la probabilitat

Les vacances i la probabilitat
1 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Matemàtiques, Probabilitat Oscar Alex Fernandez Mora

Definició d’esdeveniments:

  • $A_1$: L’individu prefereix sortir de vacances al juliol.
  • $A_2$: L’individu prefereix sortir de vacances a l’agost.
  • $A_3$: L’individu prefereix sortir de vacances al setembre.
  • $H$: L’individu passa ses vacances a un hotel.

Probabilitats donades:

  • $P(A_1) = 0,4$ (Prefereix juliol)
  • $P(A_2) = 0,3$ (Prefereix agost)
  • $P(A_3) = 1 – P(A_1) – P(A_2) = 1 – 0,4 – 0,3 = 0,3$ (Prefereix setembre)

Probabilitats condicionals que l’individu triï un hotel donat es mes preferit:

  • $P(H \mid A_1) = 0,6$ (Tria hotel en juliol)
  • $P(H \mid A_2) = 0,4$ (Tria hotel en agost)
  • $P(H \mid A_3) = 0,65$ (Tria hotel en setembre)

a) Probabilitat que vagi a un hotel i li agradi anar a l’agost:

Volem calcular $P(H \cap A_2)$, que és sa probabilitat que l’individu passi ses vacances a un hotel i prefereixi l’agost.

Utilitzant sa regla des producte:

$$P(H \cap A_2) = P(H \mid A_2) \cdot P(A_2)$$

Substituint es valors:

$$P(H \cap A_2) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$$

Per tant, sa probabilitat que l’individu passi ses vacances a un hotel i prefereixi l’agost és $\mathbf{0,12}$.

b) Probabilitat que passi ses vacances a un hotel:

Volem calcular $P(H)$, que és sa probabilitat que l’individu passi ses vacances a un hotel.

Utilitzant sa llei de sa probabilitat total:

$$P(H) = P(H \mid A_1) \cdot P(A_1) + P(H \mid A_2) \cdot P(A_2) + P(H \mid A_3) \cdot P(A_3)$$

Substituint es valors:

$$P(H) = 0,6 \times 0,4 + 0,4 \times 0,3 + 0,65 \times 0,3$$

$$P(H) = 0,24 + 0,12 + 0,195 = 0,555$$

Per tant, sa probabilitat que l’individu passi ses vacances a un hotel és $\mathbf{0,555}$.

c) Probabilitat que prefereixi agost donat que no passa ses vacances a un hotel:

Volem calcular $P(A_2 \mid H^c)$, on $H^c$ és es complement de $H$, és a dir, que s’individu no passi ses vacances a un hotel.

Utilitzam es teorema de Bayes:

$$P(A_2 \mid H^c) = \frac{P(H^c \cap A_2)}{P(H^c)}$$

Sabem que:

$$P(H^c \cap A_2) = P(A_2) \cdot P(H^c \mid A_2) = 0,3 \times (1 – 0,4) = 0,3 \times 0,6 = 0,18$$

Per calcular $P(H^c)$:

$$P(H^c) = 1 – P(H) = 1 – 0,555 = 0,445$$

Aleshores, sa probabilitat que prefereixi agost donat que no passa ses vacances a un hotel és:

$$P(A_2 \mid H^c) = \frac{0,18}{0,445} \approx 0,404$$

Per tant, sa probabilitat que un individu prefereixi l’agost donat que no passa ses vacances a un hotel és $\mathbf{0,404}$.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *