LEMNISCATA
Matemàtiques
Probabilitats condicionals que l’individu triï un hotel donat es mes preferit:
Volem calcular $P(H \cap A_2)$, que és sa probabilitat que l’individu passi ses vacances a un hotel i prefereixi l’agost.
Utilitzant sa regla des producte:
$$P(H \cap A_2) = P(H \mid A_2) \cdot P(A_2)$$
Substituint es valors:
$$P(H \cap A_2) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$$
Per tant, sa probabilitat que l’individu passi ses vacances a un hotel i prefereixi l’agost és $\mathbf{0,12}$.
Volem calcular $P(H)$, que és sa probabilitat que l’individu passi ses vacances a un hotel.
Utilitzant sa llei de sa probabilitat total:
$$P(H) = P(H \mid A_1) \cdot P(A_1) + P(H \mid A_2) \cdot P(A_2) + P(H \mid A_3) \cdot P(A_3)$$
Substituint es valors:
$$P(H) = 0,6 \times 0,4 + 0,4 \times 0,3 + 0,65 \times 0,3$$
$$P(H) = 0,24 + 0,12 + 0,195 = 0,555$$
Per tant, sa probabilitat que l’individu passi ses vacances a un hotel és $\mathbf{0,555}$.
Volem calcular $P(A_2 \mid H^c)$, on $H^c$ és es complement de $H$, és a dir, que s’individu no passi ses vacances a un hotel.
Utilitzam es teorema de Bayes:
$$P(A_2 \mid H^c) = \frac{P(H^c \cap A_2)}{P(H^c)}$$
Sabem que:
$$P(H^c \cap A_2) = P(A_2) \cdot P(H^c \mid A_2) = 0,3 \times (1 – 0,4) = 0,3 \times 0,6 = 0,18$$
Per calcular $P(H^c)$:
$$P(H^c) = 1 – P(H) = 1 – 0,555 = 0,445$$
Aleshores, sa probabilitat que prefereixi agost donat que no passa ses vacances a un hotel és:
$$P(A_2 \mid H^c) = \frac{0,18}{0,445} \approx 0,404$$
Per tant, sa probabilitat que un individu prefereixi l’agost donat que no passa ses vacances a un hotel és $\mathbf{0,404}$.