La probabilitat i els aficionats al tir amb arc

Lena i Adrián són aficionats al tir amb arc. Lena dona al blanc amb probabilitat 7/11 i Adrián amb probabilitat 9/13 . Si tots dos successos són independents, calculeu la probabilitat dels successos següents: a) “Tots dos donen en el blanc”. b) “Només Lena dona al blanc”. c) “Almenys un dona al blanc”.

Per resoldre aquest problema de probabilitats amb esdeveniments independents, utilitzarem les regles bàsiques de probabilitat.

Dades del problema:

• Lena dóna al blanc amb una probabilitat de $\frac{7}{11}$.
• Adrián dóna al blanc amb una probabilitat de $\frac{9}{13}$.

Part A: Probabilitat que tots dos donin al blanc

Com que els esdeveniments són independents, la probabilitat conjunta es calcula multiplicant les probabilitats individuals:

$$P(\text{Lena i Adrián donen al blanc}) = P(\text{Lena dóna al blanc}) \times P(\text{Adrián dóna al blanc}) = \frac{7}{11} \times \frac{9}{13} = \frac{63}{143}$$

Part B: Probabilitat que només Lena doni al blanc

Aquesta probabilitat es calcula multiplicant la probabilitat que Lena doni al blanc per la probabilitat que Adrián no doni al blanc. La probabilitat que Adrián no doni al blanc és:

$$P(\text{Adrián no dóna al blanc}) = 1 – P(\text{Adrián dóna al blanc}) = 1 – \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$$

Llavors:

$$P(\text{Només Lena dóna al blanc}) = P(\text{Lena dóna al blanc}) \times P(\text{Adrián no dóna al blanc}) = \frac{7}{11} \times \frac{4}{13} = \frac{28}{143}$$

Part C: Probabilitat que almenys un dels dos doni al blanc

La manera més fàcil de calcular aquesta probabilitat és trobar primer la probabilitat que cap dels dos doni al blanc i després restar-la d’1 (complement).

1. Probabilitat que cap dels dos doni al blanc:

$$P(\text{Cap dóna al blanc}) = P(\text{Lena no dóna al blanc}) \times P(\text{Adrián no dóna al blanc})$$

On:

$$P(\text{Lena no dóna al blanc}) = 1 – P(\text{Lena dóna al blanc}) = 1 – \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$$

I ja tenim $P(\text{Adrián no dóna al blanc}) = \frac{4}{13}$.

Llavors:

$$P(\text{Cap dóna al blanc}) = \frac{4}{11} \times \frac{4}{13} = \frac{16}{143}$$

2. Probabilitat que almenys un dels dos doni al blanc:

$$P(\text{Almenys un dóna al blanc}) = 1 – P(\text{Cap dóna al blanc}) = 1 – \frac{16}{143} = \frac{127}{143}$$

Resum:

• A) La probabilitat que tots dos donin al blanc és $\frac{63}{143}$.
• B) La probabilitat que només Lena doni al blanc és $\frac{28}{143}$.
• C) La probabilitat que almenys un dels dos doni al blanc és $\frac{127}{143}$.