La caça de les òlibes

Dos arbres, un de $15$ m i l’altre de $20$ m d’alçada, estan separats per una distància de $35$ m. A la copa de cadascun hi ha una òliba a l’aguait. De sobte, apareix un ratolí entre els arbres, i ambdues òlibes es llancen a capturar-lo a la mateixa velocitat, arribant simultàniament al lloc de la presa. A quina distància de cada arbre va aparèixer el ratolí?

Per determinar la distància del ratolí a cada arbre, considerem que les òlibes, partint des de les copes dels arbres de $15$ m i $20$ m d’alçada, separats per $35$ m, arriben al ratolí al mateix temps i a la mateixa velocitat.

Pas 1: Plantejament

• Arbres: Un arbre A de 15 m i un arbre B de 20 m, separats 35 m.

• Òlibes: Surten des de la copa de cada arbre (a 15 m i 20 m d’alçada) i volen a velocitat \( v \).

• Ratolí: Apareix a terra, a una distància \( x \) de la base de l’arbre A i \( 35 – x \) de la base de l’arbre B.

• Condició: Les òlibes arriben alhora, per tant, el temps de vol és igual.

Les coordenades són:

• Arbre A: \( (0, 15) \) (base a \( x = 0 \), copa a 15 m).

• Arbre B: \( (35, 20) \) (base a \( x = 35 \), copa a 20 m).

• Ratolí: \( (x, 0) \) (a terra, a \( x \) de A i \( 35 – x \) de B).

Pas 2: Distància recorreguda per cada òliba. La distància es calcula amb la distància euclidiana:

• Òliba A (de \( (0, 15) \) a \( (x, 0) \)): \[ d_A = \sqrt{x^2 + 15^2} = \sqrt{x^2 + 225} \]

• Òliba B (de \( (35, 20) \) a \( (x, 0) \)): \[ d_B = \sqrt{(x – 35)^2 + 20^2} = \sqrt{(x – 35)^2 + 400} \]

Pas 3: Condició de temps igual. Com que les velocitats són iguals i arriben alhora:\[t_A = t_B \implies \frac{d_A}{v} = \frac{d_B}{v} \implies d_A = d_B\]Això dona:\[\sqrt{x^2 + 225} = \sqrt{(x – 35)^2 + 400}\]

Pas 4: Resolució de l’equació. Elevem al quadrat per eliminar les arrels:\[x^2 + 225 = (x – 35)^2 + 400\]Expandim:\[(x – 35)^2 = x^2 – 70x + 1225\]Llavors:\[x^2 + 225 = x^2 – 70x + 1225 + 400\]\[x^2 + 225 = x^2 – 70x + 1625\]Restem \( x^2 \):\[225 = -70x + 1625\]Despeixem:\[70x = 1625 – 225 = 1400 \implies x = \frac{1400}{70} = 20\]El ratolí és a \( x = 20 \, \text{m} \) de l’arbre A. La distància a l’arbre B és:\[35 – x = 35 – 20 = 15 \, \text{m}\]

Pas 5: Verificació

• Òliba A: \[ d_A = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \, \text{m} \]

• Òliba B: \[ d_B = \sqrt{(20 – 35)^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, \text{m} \]Les distàncies són iguals (\( d_A = d_B = 25 \, \text{m} \)), confirmant que les òlibes arriben alhora.

Resposta final. El ratolí va aparèixer a $20$ metres de l’arbre de $15$ m d’alçada i a $15$ metres de l’arbre de $20$ m d’alçada.