LEMNISCATA
Matemàtiques
El camp gravitatori és una regió de l’espai en la qual qualsevol massa experimenta una força gravitacional. Aquest fenomen es descriu per la llei de la gravitació universal de Newton i per la teoria de la relativitat general d’Einstein, segons la situació o el nivell d’exactitud necessari.
1. Llei de la gravitació universal de Newton. Segons Newton, dos cossos amb massa s’atreuen amb una força proporcional al producte de les seves masses i inversament proporcional al quadrat de la distància entre ells:\[F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\]On:- \( F \) és la força d’atracció entre els dos cossos.- \( G \) és la constant de gravitació universal (\( G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2 \)).- \( m_1 \) i \( m_2 \) són les masses dels cossos.- \( r \) és la distància entre els centres de massa dels cossos.
2. Camp gravitatori. El camp gravitatori es defineix com la força per unitat de massa que una massa col·locada en un punt de l’espai experimentaria. Es representa com un vector, ja que té direcció i sentit. La intensitat del camp gravitatori \( \vec{g} \) generat per una massa \( M \) és:\[\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = – G \frac{M}{r^2} \hat{r}\]On:- \( \vec{g} \) és la intensitat del camp gravitatori.- \( M \) és la massa que genera el camp.- \( r \) és la distància entre el punt on es calcula el camp i el centre de la massa.- \( \hat{r} \) és el vector unitari que indica la direcció des de la massa \( M \) cap al punt considerat.
3. Línies del camp gravitatori. Les línies del camp gravitatori representen la direcció i la intensitat del camp. Per a una massa puntual, les línies de camp apunten radialment cap al centre de la massa. Aquestes línies són convergents perquè la força gravitatòria és d’atracció.
4. Potencial gravitatori. El potencial gravitatori \( V_g \) en un punt de l’espai és l’energia potencial gravitatòria per unitat de massa que tindria una massa situada en aquell punt:\[V_g = – G \frac{M}{r}\]La relació entre el potencial gravitatori i el camp gravitatori és:\[\vec{g} = – \nabla V_g\]On \( \nabla \) és l’operador gradient, que calcula el canvi espacial del potencial.
5. Energia potencial gravitatòria. L’energia potencial gravitatòria d’una massa \( m \) situada a una distància \( r \) d’una massa \( M \) és:\[U_g = – G \frac{M m}{r}\]Aquesta energia és negativa, indicant que el treball necessari per alliberar una massa del camp gravitatori ha de ser positiu.
6. Superfícies equipotencials. Les superfícies equipotencials són les regions de l’espai on el potencial gravitatori és constant. Això significa que qualsevol massa col·locada sobre una d’aquestes superfícies no necessita treball per moure’s dins d’elles. Per a una massa puntual, aquestes superfícies són esfèriques.
7. Camp gravitatori en distribucions contínues de massa. En casos de distribucions contínues de massa, com una esfera homogènia, el camp gravitatori es calcula integrant la contribució de cada element infinitesimal de massa \( dm \). Per a una distribució esfèrica uniforme, el camp gravitatori extern és idèntic al d’una massa puntual situada al centre de la distribució.
– Exterior a una esfera massiva: El camp gravitatori fora d’una distribució esfèrica de massa és equivalent al que es generaria si tota la massa estigués concentrada al centre.\[g = G \frac{M}{r^2}\]
– Interior a una esfera massiva (r < R): El camp gravitatori dins d’una distribució esfèrica de massa disminueix linealment amb la distància respecte al centre.\[g = G \frac{M(r)}{r^2}\]On \( M(r) \) és la massa continguda dins del radi \( r \).