Intensitat del so i seguretat en un concert

En un concert s’utilitza un altaveu que emet amb una potència de $50$ W. Cal calcular: a) La intensitat del so que es percep a $50$ m del mateix. b) La organització vol impedir que el públic s’acosti a una distància menor que el doble de la corresponent a l’umbral del dolor. On han de posar el límit de seguretat? (Umbral del dolor: $I = 100 \, \text{W/m}^2$).

Per a una ona tridimensional, la intensitat a una distància determinada del focus ve donada per:

$$I = \frac{P}{4 \pi r^2},$$

on $P$ és la potència i $r$ és la distància.

$\textbf{a) Intensitat a 50 m:}$

Substituint els valors a la fórmula:

$$I = \frac{P}{4 \pi r^2} = \frac{50}{4 \pi (50)^2}.$$

Calculem:

$$(50)^2 = 2500,$$

$$4 \pi \approx 4 \cdot 3,1416 \approx 12,5664,$$

$$4 \pi (50)^2 \approx 12,5664 \cdot 2500 \approx 31416,$$

$$I = \frac{50}{31416} \approx 1,59 \times 10^{-3} \, \text{W/m}^2.$$

$\textbf{Resposta a):}$ La intensitat del so a 50 m és d’aproximadament $1,59 \times 10^{-3} \, \text{W/m}^2$.

$\textbf{b) Límits de seguretat:}$

L’umbral del dolor es dona per $I = 100 \, \text{W/m}^2$. Cal trobar la distància $r$ on s’assoleix aquesta intensitat:

$$I = \frac{P}{4 \pi r^2},$$

$$100 = \frac{50}{4 \pi r^2},$$

$$4 \pi r^2 = \frac{50}{100} = 0,5,$$

$$r^2 = \frac{0,5}{4 \pi} \approx \frac{0,5}{12,5664} \approx 0,0398,$$

$$r = \sqrt{0,0398} \approx 0,199 \, \text{m}.$$

El límit de seguretat ha de ser el doble d’aquesta distància:

$$\text{Límit} > 2 \cdot 0,199 \approx 0,398 \, \text{m}.$$

Com que la distància ha de ser pràctica i superior a $0,4$ m, el límit es pot establir a $0,4$ m o més.

$\textbf{Resposta b):}$ El límit de seguretat ha de posar-se a una distància mínima de $0,4$ m.