Inferència estadística. Salari dels treballadors

El salari dels treballadors d’una ciutat segueix una distribució Normal amb una desviació típica de 15 euros. Es vol calcular un interval de confiança per al salari mitjà amb un nivell de confiança del 98 %. Determineu quina és la mida mínima de la mostra que caldria recollir perquè l’interval de confiança tingui una amplada, com a màxim, de 6 euros.

L’interval de confiança per a la mitjana en una distribució normal es basa en la següent fórmula: $$IC = \bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

on:

• $\sigma = 15$ és la desviació típica.
• $Z_{\alpha/2}$ és el valor crític de la distribució normal estàndard per a un nivell de confiança del $98\%$.
• $n$ és la mida de la mostra.
• L’amplada de l’interval és $2 \cdot Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, i ha de ser com a màxim $6$.

Pas 1: Determinar $Z_{\alpha/2}$

Per a un nivell de confiança del $98\%$, l’àrea en cada cua és $\frac{1 – 0.98}{2} = 0.01$. Buscant a la taula de la normal estàndard, el valor de $Z_{0.01}$ és aproximadament $2,33$.

Pas 2: Plantejar l’equació per a $n$

Com que l’amplada màxima de l’interval és $6$, tenim: $$2 \cdot 2.33 \cdot \frac{15}{\sqrt{n}} \leq 6$$

Dividim per $$2.33 \cdot \frac{15}{\sqrt{n}} \leq 3$$

Aïllant $n$: $$\frac{15}{\sqrt{n}} \leq \frac{3}{2.33}$$ $$\sqrt{n} \geq \frac{15 \times 2.33}{3}$$ $$\sqrt{n} \geq 11.65$$ $$n \geq (11.65)^2$$ $$n \geq 135.72$$

Com que $n$ ha de ser un nombre enter, la mida mínima de la mostra és $136$.