Հաշվել մատրիցի հակադարձը Գաուս-Ժորդանի մեթոդով

Հաշվեք, արդյոք մատրիցը \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \) հակադարձելի է, և եթե այո, ապա գտեք նրա հակադարձը։

Կիրառեք Գաուսի մեթոդը \([ A \ | \ I ]\) մատրիցի վրա.\[[ A \ | \ I ] = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{E_{3,1}(-1)} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]Քանի որ այսպիսի աստիճանաձև ձևով մատրից \( A \)-ն ունի երեք առանցքային սյուներ, կարող ենք եզրակացնել, որ \( A \)-ի աստիճանը երեք է, և հետևաբար մատրիցը հակադարձելի է։Այժմ կիրառենք Գաուս-Ժորդանի մեթոդը.\[\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{E_{2,3}(1), E_{1,3}(-1)} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & | & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]\[\xrightarrow{E_{1}(-1), E_{2}(1/2)} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]Այսպիսով, հակադարձ մատրիցը հետևյալն է.\[A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]Դեռ պակասում է ստուգել մեկ այլ կարևոր հատկություն՝ համաձայն հակադարձելի մատրիցների սահմանման՝ \( A A^{-1} = I \), սակայն արդյունքը ցույց է տալիս, որ \( A^{-1} A \)-ն նույնպես հավասար է ինքնության մատրիցին։