Generació de corrent altern mitjançant la llei de Faraday

Una de les aplicacions més importants de la llei de Faraday és la seva utilització en generadors elèctrics. La forma més senzilla de generar un corrent altern és fent girar una bobina en presència d’un camp magnètic homogeni. Suposem que la bobina té $N$ espires d’àrea $A$ i està girant amb una velocitat angular constant $\omega$ en presència d’un camp magnètic homogeni $\vec{B}$.

(a) Calculeu el flux magnètic a través de la bobina.

(b) Quina és la f.e.m. induïda?

(c) Si connectem el generador a un circuit amb resistència RR, quant val el corrent que circula pel circuit?

🧭 Dades:

• Nombre d’espire: $N$
• Àrea de cada espira: $A$
• Velocitat angular: $\omega$
• Camp magnètic constant: $\vec{B}$
• La bobina gira respecte d’un eix perpendicular a $\vec{B}$
• Resistència del circuit: $R$

✅ (a) Flux magnètic a través de la bobina

El flux magnètic a través d’una espira és: $$\Phi(t) = \vec{B} \cdot \vec{A}(t) = B A \cos\theta(t)$$

Si la bobina gira amb velocitat angular $\omega$, llavors: $$\theta(t) = \omega t \Rightarrow \Phi(t) = B A \cos(\omega t)$$

Per $N$ espires: $$\boxed{ \Phi_{\text{total}}(t) = N B A \cos(\omega t) }$$

✅ (b) Fem induïda (força electromotriu)

Segons la llei de Faraday: $$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt}$$

Derivem el flux: $$\mathcal{E}(t) = -\frac{d}{dt} [N B A \cos(\omega t)] = N B A \omega \sin(\omega t)$$

Per tant, la f.e.m. induïda és: $$\boxed{ \mathcal{E}(t) = N B A \omega \sin(\omega t)}$$

Això és un corrent altern sinusoidal.

✅ (c) Corrent al circuit amb resistència $R$

Segons la llei d’Ohm: $$I(t) = \frac{\mathcal{E}(t)}{R}$$

Substituïm: $$\boxed{ I(t) = \frac{N B A \omega}{R} \sin(\omega t) }$$

🧾 Resum final: