Força sobre un protó en el camp magnètic terrestre

El camp magnètic de la Terra en una certa zona de l’hemisferi nord és de $0,6$ G i està dirigit cap al nord i cap avall, formant una inclinació de $70^\circ$ respecte de l’horitzontal. Determina la magnitud i direcció de la força que experimentarà un protó (càrrega $q = 1{,}6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$) si es llança amb una velocitat de $15 000$ km/s en direcció nord.

Dades:

• $q = +1{,}6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
• $v = 15000\ \text{km/s} = 1{,}5\times10^{7}\ \text{m/s}$, direcció nord
• $B = 0,6\ \text{G} = 6,0\times10^{-5}\ \text{T}$
• Inclinació del camp: $70^\circ$ cap avall

Càlcul de la magnitud

La força magnètica és:

$$\mathbf{F} = q,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$$

L’angle entre $\mathbf{v}$ i la part vertical de $\mathbf{B}$ és de $70^\circ$, i només aquesta component contribueix a la força. Per tant:

$$F = q,v,B,\sin70^\circ$$

Substituint:

$$F = (1{,}6\times10^{-19})(1{,}5\times10^{7})(6,0\times10^{-5})\sin70^\circ
\approx 1{,}35\times10^{-16}\ \text{N}$$

Direcció de la força

Prenem un sistema d’eixos:

• $y$: nord (direcció de la velocitat)
• $z$: amunt
• $x$: est

El camp magnètic té:

• component horitzontal cap al nord
• component vertical cap avall $−z$

El producte vectorial dóna:

$$\mathbf{v} \times \mathbf{B} \propto -,\mathbf{i}$$

Això significa que la força és cap a $−x$, és a dir:

👉 La força actua cap a l’oest.

Resposta final

• Magnitud:
  $$F \approx 1{,}35\times10^{-16}\ \text{N}$$
• Direcció: cap a l’oest, perpendicular al moviment del protó.