Exercici 1B. Camp gravitatori. Examen sèrie 0. Física selectivitat

L’Estació Espacial Internacional (EEI) orbita a $400$ km per sobre de la superfície terrestre i té la seva fi planificada per a l’any $2031$. a) A partir de la llei de gravitació universal, deduïu l’expressió de la velocitat orbital en funció del radi orbital. Calculeu la velocitat de l’EEI en òrbita i el nombre de voltes a la Terra que fa cada dia. b) De manera gradual i controlada s’abaixarà l’òrbita fins als $280$ km d’altura per sobre de la superfície terrestre. Calculeu l’energia mecànica de l’EEI en aquesta òrbita i justifiqueu-ne el signe. Posteriorment, l’estació caurà des d’aquesta altura al mig de l’oceà Pacífic. Calculeu amb quina energia cinètica impactaria l’estació contra l’aigua sense tenir en compte els efectes de l’atmosfera terrestre.

Dades:

• Constant de gravitació universal: $G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \, \text{m}^2 \, \text{kg}^{-2}$
• Massa de la Terra: $M_T = 5,98 \times 10^{24} \, \text{kg}$
• Radi de la Terra: $R_T = 6,37 \times 10^6 \, \text{m}$
• Massa de l’EEI: $m = 430 \times 10^3 \, \text{kg}$

Per trobar l’expressió de la velocitat orbital:

Segons la llei de la gravitació universal, el mòdul de la força sobre l’EEI és: $$F = \frac{G M_T M_{EEI}}{r^2}$$

La segona llei de Newton estableix que: $$\vec{F} = M_{EEI} \vec{a}$$

D’altra banda, considerant que l’estació espacial descriu un moviment circular uniforme al voltant de la Terra, la seva acceleració és l’acceleració centrípeta: $$a = \frac{v^2}{r}$$

Com que sobre el satèl·lit només hi actua la força de la gravetat: $$\frac{G M_T M_{EEI}}{r^2} = \frac{M_{EEI} v^2}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$$

Utilitzant l’expressió, obtenim el valor de la velocitat orbital per a l’estació espacial: $$v_{EEI} = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{-11} \cdot 5,98 \times 10^{24}}{4,00 \times 10^5 + 6,37 \times 10^6}} = 7,68 \times 10^3 \, \text{m/s}$$

Per saber el nombre de voltes que fa l’estació cada dia, hem de comparar els dos temps. El període de l’EEI: $$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi \cdot 6,77 \times 10^6}{7,68 \times 10^3} = 5,54 \times 10^3 \, \text{s}$$

I un dia en segons és: $$t_{dia} = 24 \, \text{h} \cdot \frac{3600 \, \text{s}}{1 \, \text{h}} = 8,64 \times 10^5 \, \text{s}$$ El nombre de voltes per dia és: $$n_{voltes/dia} = \frac{t_{dia}}{T} = \frac{8,64 \times 10^5}{5,54 \times 10^3} = 15 \, \text{voltes}$$

L’energia mecànica és la suma de l’energia cinètica i la potencial:

$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} M_{EEI} v^2 – \frac{G M_T M_{EEI}}{r}$$

La velocitat a la nova òrbita és: $$v_{EEI} = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{-11} \cdot 5,98 \times 10^{24}}{2,80 \times 10^5 + 6,37 \times 10^6}} = 7,74 \times 10^3 \, \text{m/s}$$

L’energia cinètica és: $$E_c = \frac{1}{2} M_{EEI} v^2 = 1,29 \times 10^{13} \, \text{J}$$

L’energia potencial és: $$E_p = -\frac{G M_T M_{EEI}}{r} = -2,57 \times 10^{13} \, \text{J}$$

I l’energia mecànica de l’EEI en aquesta òrbita és: $$E_m = E_c + E_p = -1,29 \times 10^{13} \, \text{J}$$

L’energia mecànica mínima necessària per escapar de l’òrbita de la Terra és 0 J. Atès que l’EEI orbita al voltant de la Terra, la seva energia mecànica ha de ser menor i, per tant, negativa.

L’energia potencial quan l’estació arriba a la superfície de la Terra és:

$$E_p = -\frac{G M_T M_{EEI}}{r} = -2,69 \times 10^{13} \, \text{J}$$

Si negligim el fregament, l’energia mecànica es conserva. Llavors: $$E_c = E_m – E_p = 1,40 \times 10^{13} \, \text{J}$$

I, finalment, la velocitat és: $$v_{EEI} = \sqrt{\frac{2 E_c}{M_{EEI}}} = 8,80 \times 10^3 \, \text{m/s}$$