Exercici 1A. Camp gravitatori. Examen sèrie 0. Física selectivitat

La missió BepiColombo explorarà Mercuri i posarà en òrbita el satèl·lit Mercury Planetary Orbiter (MPO) al voltant del planeta amb un radi orbital mitjà de 3.360 km. a) Considereu un satèl·lit que fa una òrbita circular al voltant de Mercuri. Deduïu l’expressió de la velocitat orbital del satèl·lit en funció del radi orbital i la massa de Mercuri (indiqueu clarament en quins principis o lleis físiques us baseu per fer la vostra deducció). Amb aquesta expressió, calculeu la velocitat orbital del satèl·lit MPO mentre orbita Mercuri. Calculeu quantes voltes haurà fet el satèl·lit MPO al planeta Mercuri al cap d’un any terrestre. b) A partir de l’expressió general de l’energia mecànica, obtingueu-ne l’equació per al cas particular d’un satèl·lit en òrbita circular (cal que l’equació final només estigui expressada en funció de $G$, el radi orbital i les masses del satèl·lit i del planeta). Una vegada el satèl·lit MPO està orbitant Mercuri, encara té combustible per poder fer maniobres. Considereu que el combustible disponible pot proporcionar una energia de $4,5 \times 10^9$ J. Determineu el valor màxim que podria tenir la massa del MPO perquè amb l’energia disponible pogués escapar del camp gravitatori de Mercuri.

Per trobar l’expressió de la velocitat orbital:

Segons la llei de la gravitació universal, el mòdul de la força sobre el satèl·lit a causa de l’atracció de Mercuri és:
$$F = \frac{G \, M_{\text{MPO}} \, M_M}{r^2}$$

La segona llei de Newton estableix que:
$$\vec{F} = M_{\text{MPO}} \, \vec{a}$$

D’altra banda, considerant que el satèl·lit descriu un moviment circular uniforme al voltant de Mercuri, la seva acceleració és l’acceleració centrípeta:
$$a = \frac{v^2}{r}$$

Com que sobre el satèl·lit només hi actua la força de la gravetat:
$$\frac{G \, M_M \, M_{\text{MPO}}}{r^2} = \frac{M_{\text{MPO}} \, v^2}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{G \, M_M}{r}}$$

Utilitzant l’expressió obtenim el valor de la velocitat orbital per al MPO:
$$v_{\text{MPO}} = \sqrt{\frac{G \, M_M}{r}} = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{-11} \, 3,285 \times 10^{23}}{3,36 \times 10^6}} \approx 2,55 \times 10^3 \, \text{m/s}$$

Per saber el nombre de voltes que fa el MPO durant un any terrestre hem de comparar els dos temps.

El període del MPO:
$$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi \, 3,36 \times 10^6}{2,55 \times 10^3} \approx 8,28 \times 10^3 \, \text{s}$$

I un any amb segons:
$$t_{\text{any}} = 365,25 \, \text{dies} \times 24 \, \text{h/dia} \times 3600 \, \text{s/h} \approx 3,16 \times 10^7 \, \text{s}$$

Per tant, el nombre de voltes que fa el MPO durant un any és:
$$n_{\text{voltes}} = \frac{t_{\text{any}}}{T} = \frac{3,16 \times 10^7}{8,28 \times 10^3} \approx 3816 \, \text{voltes}$$

L’energia mecànica és la suma de l’energia cinètica i la potencial:

$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} M_{\text{MPO}} v^2 – \frac{G M_{\text{MPO}} M_M}{r} = \frac{1}{2} M_{\text{MPO}} G \frac{M_M}{r} – \frac{G M_{\text{MPO}} M_M}{r} = – \frac{G M_M M_{\text{MPO}}}{2r}$$

Càlcul de la massa:

Per escapar del camp gravitatori de Mercuri, l’energia mecànica final ha de ser nul·la. Per tant, l’increment d’energia necessari és:

$$\Delta E_m = E_{m, \text{final}} – E_{m, \text{inicial}} = 0 + \frac{G M_M M_{\text{MPO}}}{2r}$$

El màxim increment d’energia mecànica possible és l’energia que pot proporcionar el combustible. Per tant:

$$\Delta E_m = 4,5 \times 10^9 \, J = \frac{G M_M M_{\text{MPO}}}{2r}$$

I la massa màxima del MPO és:

$$M_{\text{MPO}} = \frac{\Delta E_m \cdot 2r}{G M_M} = 1,38 \times 10^3 \, kg$$

O alternativament:

El treball fet pels motors amb el combustible és igual a l’increment d’energia mecànica $W_{\text{motors}} = \Delta E_m$ i, per tant,

$$W_{\text{motors}} = E_{m, \text{final}} – E_{m, \text{inicial}}$$

Per tant,

$$W_{\text{motors}} = 4,5 \times 10^9 \, J = 0 + \frac{G M_M M_{\text{MPO}}}{2r}$$

I la massa màxima del MPO és:

$$M_{\text{MPO}} = \frac{W_{\text{motors}} \cdot 2r}{G M_M} = 1,38 \times 10^3 \, kg$$