examen selectivitat matemàtiques II. Prova sèrie 0 2025 Aragó

En un comerç s’analitzen els preus de tres articles: A, B i C. L’article A és de primera necessitat amb un IVA superreduït del 4%; l’article B és d’alimentació amb un IVA reduït del 10%; i l’article C és un petit electrodomèstic amb un IVA del 21%. Es saben les següents condicions: 1. El preu total sense IVA d’1 article A, 2 articles B i 5 articles C és de 483 €. 2. L’IVA total de 100 articles A, 10 articles B i 100 articles C és de 1954 €. 3. El preu sense IVA de l’article C és igual al preu sense IVA de 4 articles A més 8 articles B. Cal calcular els preus de venda (amb IVA inclòs) dels tres articles.

Definim:

• \( x \): preu sense IVA de l’article A (en euros).

• \( y \): preu sense IVA de l’article B (en euros).

• \( z \): preu sense IVA de l’article C (en euros).Els preus de venda amb IVA són:

• Article A: \( x \cdot 1.04 \).

• Article B: \( y \cdot 1.10 \).

• Article C: \( z \cdot 1.21 \).

Pas 1: Plantejar les equacions

1. Condició 1: Preu sense IVA d’1 A, 2 B i 5 C = 483 €. \[ x + 2y + 5z = 483 \tag{1} \]

2. Condició 2: IVA total de 100 A, 10 B i 100 C = 1954 €.

• IVA d’A: \( 0.04x \).

• IVA de B: \( 0.10y \). – IVA de C: \( 0.21z \).

• IVA total: \( 100 \cdot 0.04x + 10 \cdot 0.10y + 100 \cdot 0.21z = 1954 \). Simplificant: \[ 4x + y + 21z = 1954 \tag{2} \]

3. Condició 3: Preu sense IVA de C = 4 A + 8 B. \[ z = 4x + 8y \quad \text{o} \quad -4x – 8y + z = 0 \tag{3} \]El sistema lineal és:\[\begin{cases}x + 2y + 5z = 483 \\4x + y + 21z = 1954 \\-4x – 8y + z = 0\end{cases}\]

Pas 2: Resoldre amb el mètode de Cramer. El sistema es pot escriure en forma matricial \( AX = B \), on:\[A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\4 & 1 & 21 \\-4 & -8 & 1\end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}483 \\1954 \\0\end{pmatrix}\] Determinant de \( A \) (\( \det(A) \)):\[\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 21 \\ -8 & 1 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 21 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -4 & -8 \end{vmatrix}\]

• Primer terme: \( \begin{vmatrix} 1 & 21 \\ -8 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – 21 \cdot (-8) = 1 + 168 = 169 \).

• Segon terme: \( \begin{vmatrix} 4 & 21 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot 1 – 21 \cdot (-4) = 4 + 84 = 88 \).

• Tercer terme: \( \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -4 & -8 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-8) – 1 \cdot (-4) = -32 + 4 = -28 \).\[\det(A) = 1 \cdot 169 – 2 \cdot 88 + 5 \cdot (-28) = 169 – 176 – 140 = -147\] Determinant per a \( x \) (\( \det(A_x) \)): Substituïm la primera columna de \( A \) per \( B \):\[A_x = \begin{pmatrix}483 & 2 & 5 \\1954 & 1 & 21 \\0 & -8 & 1\end{pmatrix}\]\[\det(A_x) = 483 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 21 \\ -8 & 1 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 1954 & 21 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1954 & 1 \\ 0 & -8 \end{vmatrix}\]

• Primer terme: \( 483 \cdot 169 = 81627 \).

• Segon terme: \( \begin{vmatrix} 1954 & 21 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1954 \cdot 1 – 21 \cdot 0 = 1954 \), llavors \( -2 \cdot 1954 = -3908 \).

• Tercer terme: \( \begin{vmatrix} 1954 & 1 \\ 0 & -8 \end{vmatrix} = 1954 \cdot (-8) – 1 \cdot 0 = -15632 \), llavors \( 5 \cdot (-15632) = -78160 \).\[\det(A_x) = 81627 – 3908 – 78160 = -441\]\[x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-441}{-147} = 3\]

Determinant per a \( y \) (\( \det(A_y) \)): Substituïm la segona columna de \( A \) per \( B \):\[A_y = \begin{pmatrix}1 & 483 & 5 \\4 & 1954 & 21 \\-4 & 0 & 1\end{pmatrix}\]\[\det(A_y) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1954 & 21 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} – 483 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 21 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1954 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}\]

• Primer terme: \( \begin{vmatrix} 1954 & 21 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1954 \cdot 1 – 21 \cdot 0 = 1954 \).

• Segon terme: \( \begin{vmatrix} 4 & 21 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot 1 – 21 \cdot (-4) = 4 + 84 = 88 \), llavors \( -483 \cdot 88 = -42456 \).

• Tercer terme: \( \begin{vmatrix} 4 & 1954 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} = 4 \cdot 0 – 1954 \cdot (-4) = 7816 \), llavors \( 5 \cdot 7816 = 39080 \).\[\det(A_y) = 1954 – 42456 + 39080 = -1470\]\[y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-1470}{-147} = 10\]

Determinant per a \( z \) (\( \det(A_z) \)): Substituïm la tercera columna de \( A \) per \( B \):\[A_z = \begin{pmatrix}1 & 2 & 483 \\4 & 1 & 1954 \\-4 & -8 & 0\end{pmatrix}\]\[\det(A_z) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1954 \\ -8 & 0 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1954 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} + 483 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -4 & -8 \end{vmatrix}\]

• Primer terme: \( \begin{vmatrix} 1 & 1954 \\ -8 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 – 1954 \cdot (-8) = 15632 \).

• Segon terme: \( \begin{vmatrix} 4 & 1954 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} = 4 \cdot 0 – 1954 \cdot (-4) = 7816 \), llavors \( -2 \cdot 7816 = -15632 \).

• Tercer terme: \( \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -4 & -8 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-8) – 1 \cdot (-4) = -32 + 4 = -28 \), llavors \( 483 \cdot (-28) = -13524 \).\[\det(A_z) = 15632 – 15632 – 13524 = -13524\]\[z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} = \frac{-13524}{-147} = 92\]Per tant, els preus sense IVA són:

• \( x = 3 \) €.

• \( y = 10 \) €.

• \( z = 92 \) €.

Pas 3: Calcular els preus de venda (amb IVA)

• Article A: \( 3 \cdot 1.04 = 3.12 \, \text{€} \).

• Article B: \( 10 \cdot 1.10 = 11 \, \text{€} \).

• Article C: \( 92 \cdot 1.21 = 111.32 \, \text{€} \).

Resposta final. Els preus de venda (amb IVA inclòs) dels articles són:

• Article A: 3.12 €

• Article B: 11.00 €

• Article C: 111.32 €