Examen Selectivitat Matemàtiques CCSS. Convocatòria Juliol 2024. Illes Balears

Una empresa que fabrica components electrònics realitza un estudi sobre la vida útil dels seus productes. Amb una mostra aleatòria de $50$ components electrònics, el temps mitjà de vida útil és de $507$ hores. Suposem que el temps de vida útil segueix una distribució normal i que la seva desviació típica és coneguda i igual a $150$ hores. a) Calcula un interval de confiança per a la mitjana poblacional de la vida útil dels components amb un nivell de confiança del $75\%$. b) Suposant ara que la mitjana poblacional és de $\mu = 500$ hores, quantes hores de vida útil tenen el $10\%$ de productes que menys vida útil tenen?

a) Calcula un interval de confiança per a la mitjana poblacional de la vida útil dels components amb un nivell de confiança del $75\%$.

Per a un nivell de confiança del $75\%$, el nivell de significació és $\alpha = 0.25$. Per tant, $\alpha/2 = 0.125$ i $z_{\alpha/2} = 1.15$. Amb les dades de l’enunciat ($n = 50$, $\bar{x} = 507$, $\sigma = 150$), podem calcular l’interval demanat com a:
$$\left( \bar{x} – z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = (482.60, 531.40).$$

b) Suposant ara que la mitjana poblacional és de $\mu = 500$ hores, quantes hores de vida útil tenen el $10\%$ de productes que menys vida útil tenen?

Amb les mateixes variables que l’apartat anterior, cercam ara la vida útil $v$ tal que:
$$P(X \leq v) = 10\% \implies P\left( \frac{X – 500}{150} \leq \frac{v – 500}{150} \right) = 10\%
\implies P\left( Z \leq \frac{v – 500}{150} \right) = 10\%
\implies P\left( Z \geq -\frac{v – 500}{150} \right) = 90\%.$$
Comprovant-ho a la taula, el valor més proper és per a $Z = 1.28$ i, per tant,
$$1.28 \geq -\frac{v – 500}{150} \implies v = 500 – 150 \cdot 1.28 = 308,$$
és a dir, el $10\%$ de productes que menys vida útil tenen, en tenen $308$ hores o menys.