Estudi sobre l’efectivitat d’una nova tècnica de detecció de càncer de còlon

Un laboratori especialitzat en diagnòstic molecular ha posat a punt una tècnica per detectar una certa variant de càncer de còlon. Analitzant teixit tumoral procedent de biòpsies de $109$ pacients, dels quals es coneix amb certesa que tenen aquest tipus de càncer, la nova tècnica el detecta en $101$ casos. La bibliografia d’aquest camp esmenta una tècnica histoquímica que ha estat clàssicament utilitzada, i que detecta aquesta patologia en teixit tumoral amb una efectivitat del $85\%$ (és a dir, no detecta $15$ de cada $100$ casos). Fent servir un interval de confiança amb un $95\%$ de confiança, es pot afirmar que l’efectivitat d’aquesta nova tècnica supera el $85\%$?

Per determinar si l’efectivitat de la nova tècnica supera el 85%, calcularem un interval de confiança al 95% per a la proporció d’èxit de la nova tècnica i analitzarem si aquest interval és completament superior al 0.85.

Pas 1: Estimació puntual de la proporció

L’estimació puntual de l’efectivitat ($\hat{p}$) es calcula com el nombre de casos detectats dividit pel total de casos:
$$\hat{p} = \frac{\text{Casos detectats}}{\text{Total de pacients}} = \frac{101}{109} \approx 0.9266$$

Pas 2: Càlcul de l’interval de confiança al 95%

La fórmula per a l’interval de confiança per a una proporció és:
$$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}}$$
on:

• $\hat{p} = 0.9266$ (proporció muestral),
• $n = 109$ (mida de la mostra),
• Nivell de confiança = 95%, per tant, $\alpha = 0.05$, $\alpha/2 = 0.025$,
• $z_{\alpha/2} = z_{0.025} \approx 1.96$ (valor crític de la distribució normal estàndard).

1. Càlcul de l’error estàndard:
   $$\hat{p}(1 – \hat{p}) = 0.9266 \cdot (1 – 0.9266) = 0.9266 \cdot 0.0734 \approx 0.06801$$
   $$\sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.06801}{109}} \approx \sqrt{0.0006239} \approx 0.02498$$
2. Marge d’error:
   $$z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} = 1.96 \cdot 0.02498 \approx 0.04896$$
3. Interval de confiança:
   $$\hat{p} \pm \text{marge d’error} = 0.9266 \pm 0.04896$$

• Límit inferior: $0.9266 – 0.04896 \approx 0.87764$
• Límit superior: $0.9266 + 0.04896 \approx 0.97556$ Per tant, l’interval de confiança al 95% és:
  $$[0.878, 0.976]$$

Pas 3: Comparació amb l’efectivitat del 85% (0.85)

L’interval de confiança al 95% per a l’efectivitat de la nova tècnica és $[0.878, 0.976]$. Com que el límit inferior de l’interval $0.878$ és superior al 0.85, podem afirmar amb un 95% de confiança que l’efectivitat de la nova tècnica és superior al 85% de la tècnica histoquímica clàssica.

Resposta final:
L’interval de confiança al 95% per a l’efectivitat de la nova tècnica és $[0.878, 0.976]$. Com que aquest interval està completament per sobre del 0.85, sí que es pot afirmar amb un 95% de confiança que l’efectivitat de la nova tècnica supera el 85%.