Estudi sobre la proporció de neutròfils en una mostra sanguínia

L’estudi sanguini d’un individu presenta $125$ neutròfils d’un recompte total de $200$ glòbuls blancs. Es demana: (a) Trobar una estimació puntual per a la proporció de neutròfils. (b) Trobar un interval de confiança al $90\%$ per a l’anterior proporció. c) En un individu sa, el percentatge de neutròfils es troba entre el $60\%$ i el $70\%$ del total de glòbuls blancs. Segons l’interval de l’apartat anterior, hi ha alguna evidència de desequilibri de neutròfils en la mostra de sang analitzada?

(a) Estimació puntual per a la proporció de neutròfils

L’estimació puntual de la proporció de neutròfils ($p$) es calcula com el nombre de neutròfils dividit pel total de glòbuls blancs:
$$\hat{p} = \frac{\text{Nombre de neutròfils}}{\text{Total de glòbuls blancs}} = \frac{125}{200} = 0.625$$

Resposta: L’estimació puntual per a la proporció de neutròfils és $0.625$ (o $62.5\%$).

(b) Interval de confiança al $90\%$ per a la proporció

Per calcular l’interval de confiança al $90\%$ per a la proporció poblacional, utilitzem la fórmula:
$$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}}$$
on:

• $\hat{p} = 0.625$ (proporció muestral),
• $n = 200$ (mida de la mostra),
• Nivell de confiança $= 90\%$, per tant, $\alpha = 0.1$, $\alpha/2 = 0.05$,
• $z_{\alpha/2} = z_{0.05} \approx 1.645$ (valor crític de la distribució normal estàndard per a un $90\%$ de confiança).

1. Càlcul de l’error estàndard:
   $$\hat{p}(1 – \hat{p}) = 0.625 \cdot (1 – 0.625) = 0.625 \cdot 0.375 = 0.234375$$
   $$\sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.234375}{200}} \approx \sqrt{0.001171875} \approx 0.03423$$
2. Marge d’error:
   $$z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} = 1.645 \cdot 0.03423 \approx 0.05631$$
3. Interval de confiança:
   $$\hat{p} \pm \text{marge d’error} = 0.625 \pm 0.05631$$

• Límit inferior: $0.625 – 0.05631 \approx 0.56869$
• Límit superior: $0.625 + 0.05631 \approx 0.68131$ Per tant, l’interval de confiança al $90\%$ és:
  $$[0.569, 0.681] \text{ (o en percentatge, [56.9%, 68.1%])}$$

Resposta: L’interval de confiança al $90\%$ per a la proporció de neutròfils és $[0.569, 0.681]$ (o $[56.9%, 68.1%]$).

(c) Evidència de desequilibri de neutròfils

En un individu sa, el percentatge de neutròfils es troba entre el 60% i el 70% (és a dir, ([0.6, 0.7])). L’interval de confiança al 90% obtingut és ([0.569, 0.681]). Analitzem:

• L’interval de confiança ([0.569, 0.681]) està majoritàriament dins del rang saludable ([0.6, 0.7]), però el límit inferior (0.569) és lleugerament inferior al 0.6.
• Això indica que, amb un 90% de confiança, la proporció real de neutròfils podria estar lleugerament per sota del rang saludable (0.6), suggerint una possible evidència de desequilibri (concretament, una possible deficiència de neutròfils).
• Tanmateix, com que la major part de l’interval es troba dins del rang saludable i l’estimació puntual ($\hat{p} = 0.625$) està dins del rang [0.6, 0.7], no hi ha una evidència contundent d’un desequilibri significatiu, però la possibilitat d’un lleuger desequilibri no es pot descartar completament.

Resposta: L’interval de confiança al 90% ([56.9%, 68.1%]) està majoritàriament dins del rang saludable ([60%, 70%]), però el límit inferior (56.9%) és lleugerament inferior al 60%. Això suggereix una possible evidència d’un lleuger desequilibri de neutròfils (possible deficiència), tot i que no és concloent, ja que l’estimació puntual (62.5%) es troba dins del rang saludable.

Resposta final:
(a) Estimació puntual: 0.625 (62.5%).
(b) Interval de confiança al 90%: [0.569, 0.681] ([56.9%, 68.1%]).
(c) L’interval suggereix una possible evidència d’un lleuger desequilibri de neutròfils, ja que el límit inferior (56.9%) és per sota del rang saludable (60%-70%), tot i que l’estimació puntual (62.5%) és dins del rang saludable.