Estudi sobre la concentració de virus entèric en aigües residuals de granges

Les autoritats sanitàries fixen la quantitat de $14$ UFP/$100$mL (UFP = unitats formadores de plaques) com la concentració màxima d’un determinat virus entèric en aigües residuals de qualsevol punt de l’estat. Es realitza un control en aigües depurades de $10$ granges que generen purins. La concentració del virus entèric correspon a un nombre molt gran de manera que podem assumir que segueix una distribució normal. D’altra banda, les granges estan prou allunyades per assumir que els resultats individuals són mútuament independents. Els valors obtinguts han estat: $$14.3, 15.3, 13.8, 15.4, 15.5, 14.6, 13.9, 15.0, 14.6, 13.8$$ (a) Calculeu l’interval de confiança al $95\%$ de la concentració mitjana del virus en les aigües que aboquen les granges. (b) Interpreteu el resultat en funció del valor fixat per l’administració.

(a) Càlcul de l’interval de confiança al $95\%$ per a la concentració mitjana

1. Càlcul de la mitjana muestral ($\bar{x}$):
   Sumem els valors i dividim per $n = 10$:
   $$\bar{x} = \frac{14.3 + 15.3 + 13.8 + 15.4 + 15.5 + 14.6 + 13.9 + 15.0 + 14.6 + 13.8}{10} = \frac{146.2}{10} = 14.62 \, \text{UFP/100mL}$$
2. Càlcul de la desviació típica muestral ($s$):
   Calculem la variància muestral:
   $$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i – \bar{x})^2$$
   Diferències al quadrat respecte a la mitjana ($\bar{x} = 14.62$):
   $$\begin{array}{c|c}
   x_i & (x_i – 14.62)^2 \\
   \hline
   14.3 & (14.3 – 14.62)^2 = 0.1024 \\
   15.3 & (15.3 – 14.62)^2 = 0.4624 \\
   13.8 & (13.8 – 14.62)^2 = 0.6724 \\
   15.4 & (15.4 – 14.62)^2 = 0.6084 \\
   15.5 & (15.5 – 14.62)^2 = 0.5184 \\
   14.6 & (14.6 – 14.62)^2 = 0.0004 \\
   13.9 & (13.9 – 14.62)^2 = 0.5184 \\
   15.0 & (15.0 – 14.62)^2 = 0.1444 \\
   14.6 & (14.6 – 14.62)^2 = 0.0004 \\
   13.8 & (13.8 – 14.62)^2 = 0.6724 \\
   \end{array}$$
   Sumem:
   $$\sum (x_i – \bar{x})^2 = 0.1024 + 0.4624 + 0.6724 + 0.6084 + 0.5184 + 0.0004 + 0.5184 + 0.1444 + 0.0004 + 0.6724 = 3.6996$$
   Variança muestral:
   $$s^2 = \frac{3.6996}{9} \approx 0.411067$$
   Desviació típica muestral:
   $$s = \sqrt{0.411067} \approx 0.64115$$
3. Càlcul de l’error estàndard:
   $$\text{Error estàndard} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.64115}{\sqrt{10}} \approx \frac{0.64115}{3.16228} \approx 0.2027$$
4. Valor crític de la distribució $t$ de Student:
   Per un nivell de confiança del $95\%$ ($\alpha = 0.05$) i $n-1 = 9$ graus de llibertat, el valor crític $t_{\alpha/2, 9}$ per $\alpha/2 = 0.025$ és:
   $$t_{0.025, 9} \approx 2.262$$
5. Marge d’error:
   $$t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.262 \cdot 0.2027 \approx 0.4585$$
6. Interval de confiança:
   $$\bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 14.62 \pm 0.4585$$

• Límit inferior: $14.62 – 0.4585 \approx 14.1615$
• Límit superior: $14.62 + 0.4585 \approx 15.0785$ Per tant, l’interval de confiança al $95\%$ és:
  $$[14.16, 15.08] \, \text{UFP/100mL}$$

(b) Interpretació del resultat en funció del valor fixat per l’administració

El límit màxim establert per les autoritats sanitàries és de $14$ UFP/100mL. L’interval de confiança al $95\%$ per a la concentració mitjana del virus en les aigües residuals de les granges és $[14.16, 15.08]$ UFP/$100$mL. Com que el límit inferior de l’interval $14.16$ és superior al límit permès de $14$ UFP/$100$mL, podem concloure amb un $95\%$ de confiança que la concentració mitjana del virus entèric en les aigües residuals d’aquestes granges supera el límit establert per les autoritats sanitàries. Això suggereix que les granges podrien no complir amb la normativa i que es podrien requerir mesures correctives per reduir la concentració del virus.

Resposta final:
(a) L’interval de confiança al 95% per a la concentració mitjana del virus és ([14.16, 15.08]) UFP/100mL.
(b) L’interval indica que, amb un 95% de confiança, la concentració mitjana del virus supera el límit de 14 UFP/100mL fixat per les autoritats, suggerint un possible incompliment de la normativa.