Estudi Dinàmic d’un Sistema amb Politja i Forces de Fricció

En el sistema de la figura, determineu l’acceleració angular de la politja, l’acceleració lineal de les masses i les tensions a la corda, en funció de les masses $m_1$, $m_2$ dels blocs, de la massa $M$ de la politja i el seu radi $R$, i del coeficient de fregament dinàmic $\mu$ entre el bloc $2$ i el pla horitzontal.

Apliqueu les expressions obtingudes al cas en què $m_1 = 5 \, \text{kg}$, $m_2 = 9 \, \text{kg}$, $M = 2 \, \text{kg}$, $R = 17 \, \text{cm}$, i $\mu = 0,35$.

Efectuem un esquema amb les forces que hi actuen, i apliquem les equacions de la dinàmica de translació a les masses i de rotació a la politja; podem fer les mateixes consideracions que en els exemples anteriors, però, per simplificar i tal com vam fer a la unitat 3, podem suposar que les forces que van a favor del moviment són positives, i les que van en sentit contrari, negatives, i prenem el mateix criteri per a les acceleracions i els moments.

$$m_1) \sum \vec{F}_{\text{ext}_1} = m_1 \vec{a} \Rightarrow \vec{T}_1 + \vec{F}_f = m_1 \vec{a} \Rightarrow T_1 – F_f = m_1 a$$ $$m_2) \sum \vec{F}_{\text{ext}_2} = m_2 \vec{a} \Rightarrow \vec{p}_2 + \vec{T}_2 = m_2 \vec{a} \Rightarrow p_2 – T_2 = m_2 a$$ $$\sum \vec{M}_{\text{ext}} = I \vec{\alpha} \Rightarrow \vec{M}_{T_2} + \vec{M}_{T_1} = I \vec{\alpha} \Rightarrow RT_2 – RT_1 = I \alpha \Rightarrow T_2 – T_1 = \frac{I}{R} \alpha$$

Ara substituïm el moment d’inèrcia de la politja, $I = \frac{1}{2}MR^2$, i la condició de no lliscament, $a = a_t = R \alpha$, a la tercera equació, i resolem el sistema de tres equacions amb tres incògnites per tal de calcular $a$.

\begin{equation}\begin{cases}T_1 – F_f &= m_1 a \\ p_2 – T_2 &= m_2 a \Rightarrow p_2 – F_f = m_1 a + m_2 a + \frac{1}{2} M a \Rightarrow m_2 g – \mu m_1 g = m_1 a + m_2 a + \frac{1}{2} M a \\ T_2 – T_1 &= \frac{1}{2} M a \end{cases}\end{equation}

\begin{equation}
a = \frac{2 m_2 g – 2 \mu m_1 g}{2 m_1 + 2 m_2 + M} \Rightarrow
a = \frac{(2 \cdot 9 – 2 \cdot 0{,}35 \cdot 5) \cdot 9{,}8}{2 \cdot 5 + 2 \cdot 9 + 2} = 4{,}74 \\ \text{m/s}^2
\end{equation}

Ara ja podem calcular $\alpha$, $T_1$ i $T_2$:

\begin{equation}
\alpha = \frac{a}{R} = \frac{4{,}74}{0{,}17} = 27{,}86 \ \text{rad/s}^2
\end{equation}

\begin{equation}
T_1 – F_f = m_1 a \Rightarrow T_1 = m_1 a + F_f = m_1 a + \mu m_1 g = 5 \cdot (4{,}74 + 0{,}35 \cdot 9{,}8) = 40{,}85 \ \text{N}
\end{equation}

\begin{equation}
p_2 – T_2 = m_2 a \Rightarrow T_2 = p_2 – m_2 a = m_2 g – m_2 a = 9 \cdot (9{,}8 – 4{,}74) = 45{,}54 \ \text{N}
\end{equation}