Estudi de l’audiència d’un programa de televisió

Una cadena de televisió decideix emetre un nou programa en la franja horària de les 17.00 h a les 21.00 h. El percentatge d’audiència (P) de la primera emissió en funció del temps (t), mesurat en hores, és definit per la funció $$P(t) = \frac{1}{5}(-t^3 + 49t^2 – 760t + 3.690) \quad 17 \le t \le 21.$$

Els directius de la cadena acorden que el programa se seguirà emetent si en algun moment s’aconsegueix un percentatge d’audiència superior al 20%.

a) Expliqueu raonadament en quins intervals de temps l’audiència del programa va augmentar i en quins intervals va disminuir.

b) En vista dels resultats, se seguirà emetent el programa? Justifiqueu la resposta.

Tenim la funció:

$$P(t)=\frac{1}{5}(-t^3+49t^2-760t+3690), \quad 17 \le t \le 21$$

a) Interval d’augment i disminució

Cal derivar la funció:

$$P'(t)=\frac{1}{5}(-3t^2+98t-760)$$

Igualem a zero:

$$-3t^2+98t-760=0$$

Multipliquem per $-1$:

$$3t^2-98t+760=0$$

Resolem:

$$t=\frac{98\pm\sqrt{98^2-4\cdot3\cdot760}}{6}$$

$$t=\frac{98\pm\sqrt{9604-9120}}{6}$$

$$t=\frac{98\pm\sqrt{484}}{6}$$

$$t=\frac{98\pm22}{6}$$

Per tant:

$$t_1=\frac{76}{6}\approx12,67$$

$$t_2=\frac{120}{6}=20$$

Només ens interessa l’interval $[17,21]$, així que prenem $t = 20$.

Estudiem el signe:

• Entre 17 i 20, (P'(t)>0) → la funció augmenta.
• Entre 20 i 21, (P'(t)<0) → la funció disminueix.

Resposta apartat a):

• L’audiència augmenta de 17 h a 20 h.
• L’audiència disminueix de 20 h a 21 h.

---

b) Es continuarà emetent?

Cal veure si supera el 20% en algun moment.

Com el màxim és a (t=20), calculem:

$$P(20)=\frac{1}{5}(-(20)^3+49(20)^2-760(20)+3690)$$

$$P(20)=\frac{1}{5}(-8000+19600-15200+3690)$$

$$P(20)=\frac{1}{5}(90)=18$$

El màxim és 18%.

Com que:

$$18% < 20%$$

Resposta apartat b):
No, el programa no se seguirà emetent, perquè en cap moment supera el 20% d’audiència.

---

Conclusió final:
El programa augmenta audiència entre les 17 h i 20 h, disminueix entre les 20 h i 21 h, i no continua perquè el màxim és només del 18%.