Estudi de la convergència d’una sèrie

Estudia la convergència de les següents sèries on $a > 0$ i $a \in \mathbb{R}$. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \frac{n}{a} \right)^a$

Posem
$$a_n = \frac{1}{n!} \left( \frac{n}{a} \right)^n.$$
Apliquem el criteri del quocient:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}
= \frac{\frac{1}{(n+1)!} \left( \frac{n+1}{a} \right)^{n+1}}
{\frac{1}{n!} \left( \frac{n}{a} \right)^{n}}
= \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n!}{n!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{a^{n+1}} \cdot \frac{a^n}{n^n}
= \frac{1}{n+1} \cdot a^{-1} \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right)^n.$$
Així,
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}
= \frac{a}{e} \quad \text{quan } n \to \infty.$$
Deduïm que, si $0 < a < e$, la sèrie és convergent; si $a > e$, la sèrie és divergent. Per a $a = e$ el criteri no proporciona informació. Ni el criteri de Raabe ni el primer criteri logarítmic semblen fàcils d’aplicar. Quan no queda un altre recurs, cal intentar el criteri de comparació.

Suposem que $a = e$. Tenim que:
$$a_n = \frac{n^n}{n! \, e^n} = \frac{n^n}{n! \, (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{e^n}.$$
En realitat, simplificant:
$$a_n = \frac{n^n}{n! \, e^n} = \frac{n^n}{n! \, (n+1)^n} \cdot \frac{(n+1)^n}{e^n}
= \frac{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}{n!} \cdot \dots$$
Més directament, sabem que:
$$a_n = \frac{n^n}{n! \, e^n} = \frac{n^n}{n! \, (n+1)^{n+1}} \cdot (n+1)^{n+1}.$$
Utilitzant que per a tot $k \in \mathbb{N}$ és $e < \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{k+1} = \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k}$, s’obté que, per a tot $n \in \mathbb{N}$: $$\frac{1}{e^n} > \prod_{k=1}^n \left( \frac{k}{k+1} \right)^{k+1} = \frac{n!}{(n+1)^n}.$$
Aleshores:
$$a_n = \frac{n^n}{n! \, e^n} > \frac{n^n}{n!} \cdot \frac{n!}{(n+1)^n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n > \frac{1}{5n} \quad (\text{per a } n \text{ gran}).$$
Concloem, per comparació amb la sèrie harmònica, que la sèrie és divergent per a $a = e$.