Estudi antropològic. Distribució normal

Un estudi antropològic d’una tribu del centre d’Àfrica ha constatat que la longitud del dit cor dels adults segueix una llei normal de mitjana $60$ mm i variància $9$ mm. Si hi ha $800$ adults en aquesta tribu, determina quants tenen el dit cor a) Més llarg de $62$ mm b) Més curt de $57$ mm. c) Entre $60$ i $66$ mm.

Aquí tens la traducció al català:

Per resoldre aquest problema, utilitzarem la distribució normal estàndard per calcular les probabilitats corresponents a cada cas i després multiplicarem aquestes probabilitats pel total de $800$ adults.

La distribució normal donada té una mitjana $\mu = 60$ mm i una variància $\sigma^2 = 9$ mm. La desviació estàndard, $\sigma$, és:

$$\sigma = \sqrt{9} = 3 \text{ mm}$$

Primer, estandarditzarem les variables utilitzant la fórmula del valor ($z$):

$$z = \frac{x – \mu}{\sigma}$$

a) Dit del cor més llarg de $62$ mm

Primer, calculem el valor $z$ per $x = 62$:

$$z = \frac{62 – 60}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67$$

Utilitzant taules de la distribució normal estàndard, la probabilitat acumulada per $z = 0.67$ és aproximadament $0.7486$.

La probabilitat que el dit del cor sigui més llarg de $62$ mm és:

$$P(X > 62) = 1 – P(Z \leq 0.67) = 1 – 0.7486 = 0.2514$$

Ara, multipliquem aquesta probabilitat pel nombre total d’adults:

$$0.2514 \times 800 \approx 201.12$$

Així, aproximadament $201$ adults tenen el dit del cor més llarg de $62$ mm.

b) Dit del cor més curt de $57$ mm

Ara, calculem el valor $z$ per $x = 57$:

$$z = \frac{57 – 60}{3} = \frac{-3}{3} = -1$$

La probabilitat acumulada per $z = -1$ és aproximadament $0.1587$.

Per tant, la probabilitat que el dit del cor sigui més curt de $57$ mm és:

$$P(X < 57) = P(Z \leq -1) = 0.1587$$

Multipliquem aquesta probabilitat pel nombre total d’adults:

$$0.1587 \times 800 \approx 126.96$$

Així, aproximadament $127$ adults tenen el dit del cor més curt de $57$ mm.

c) Dit del cor entre $60$ i $66$ mm

Primer, calculem el valor $z$ per $x = 66$:

$$z = \frac{66 – 60}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

La probabilitat acumulada per $z = 2$ és aproximadament $0.9772$.

Sabem que el valor $z$ per $x = 60$ és $0$, i la probabilitat acumulada corresponent és $0.5$.

Per tant, la probabilitat que el dit del cor estigui entre $60$ i $66$ mm és:

$$P(60 < X < 66) = P(0 < Z < 2) = P(Z \leq 2) – P(Z \leq 0) = 0.9772 – 0.5 = 0.4772$$

Multipliquem aquesta probabilitat pel nombre total d’adults:

$$0.4772 \times 800 \approx 381.76$$

Així, aproximadament $382$ adults tenen el dit del cor entre $60$ i $66$ mm.

Resum dels resultats:

• a) Aproximadament $201$ adults tenen el dit del cor més llarg de $62$ mm.
• b) Aproximadament $127$ adults tenen el dit del cor més curt de $57$ mm.
• c) Aproximadament $382$ adults tenen el dit del cor entre $60$ i $66$ mm.