ESPIRA CIRCULAR EN UN CAMP MAGNÈTIC VARIABLE EN EL TEMPS

Una espira circular de $10$ cm de diàmetre es troba en el pla XY en una regió de l’espai on hi ha un camp magnètic uniforme (tant espacialment com en direcció) descrit per l’expressió: $$\vec{B}(t) = 0{,}08\;(1 + 3t^2 + 2t^3)\;\hat{k}\;\text{T}$$ (amb $t$ en segons).

a) Dedueix l’expressió del flux magnètic a través de l’espira en funció del temps.
b) Determina el valor de la fem induïda en l’instant $t = 5\;\text{s}$.
c) Si la corrent induïda a l’espira és de $3$ A:
  i. Calcula la resistència total de l’espira i la secció del fil de coure que la forma, sabent que la resistivitat del coure és $16{,}8\;\mu\Omega\cdot\text{cm}$.
  ii. Determina el mòdul i la direcció del camp magnètic que produeix aquesta corrent induïda al centre de l’espira.

Dades comunes

• Radi: $r = 5{,}0\;\text{cm} = 0{,}050\;\text{m}$
• Àrea: $A = \pi r^2 = \pi (0{,}050)^2 = 7{,}854 \times 10^{-3}\;\text{m}^2$
• Longitud del fil (circumferència): $L = 2\pi r = 0{,}3142\;\text{m}$

a) Flux magnètic
Com que $\vec{B}$ és perpendicular a l’espira,
$$\boxed{\Phi_B(t) = B(t)\cdot A = 0{,}08\;(1 + 3t^2 + 2t^3)\cdot 7{,}854 \times 10^{-3}}$$
$$\boxed{\Phi_B(t) = 6{,}283 \times 10^{-4}\;(1 + 3t^2 + 2t^3)\;\text{Wb}}$$

b) Fem induïda
$$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -6{,}283 \times 10^{-4} \cdot \frac{d}{dt}(1 + 3t^2 + 2t^3)$$
$$\frac{d}{dt}(1 + 3t^2 + 2t^3) = 6t + 6t^2$$
$$\mathcal{E}(t) = -3{,}770 \times 10^{-3} (t + t^2)\;\text{V}$$
Per $t = 5\;\text{s}$:
$$\mathcal{E}(5) = -3{,}770 \times 10^{-3} (5 + 25) = -0{,}1131\;\text{V}$$
$$\boxed{|\mathcal{E}(5)| = 0{,}113\;\text{V} = 113\;\text{mV}}$$

c) Corrent induïda $I = 3\;\text{A}$

c.i) Resistència i secció del fil
Llei d’Ohm:
$$R = \frac{|\mathcal{E}|}{I} = \frac{0{,}1131}{3} = 0{,}0377\;\Omega$$
$$\boxed{R = 0{,}0377\;\Omega}$$

Resistivitat del coure:
$\rho = 16{,}8\;\mu\Omega\cdot\text{cm} = 1{,}68 \times 10^{-7}\;\Omega\cdot\text{m}$

$$R = \rho \frac{L}{S} \quad \Rightarrow \quad S = \frac{\rho L}{R}$$
$$S = \frac{(1{,}68 \times 10^{-7})(0{,}3142)}{0{,}0377} = 1{,}40 \times 10^{-6}\;\text{m}^2 = 1{,}40\;\text{mm}^2$$
$$\boxed{S = 1{,}40\;\text{mm}^2}$$

c.ii) Camp magnètic induït al centre de l’espira
$$B_\text{ind} = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(3)}{2(0{,}050)} = 3{,}77 \times 10^{-5}\;\text{T} = 37{,}7\;\mu\text{T}$$

Direcció: el camp original $\vec{B}$ augmenta en la direcció $+\hat{k}$, per tant la fem induïda genera un corrent que produeix un camp oposat ($-\hat{k}$).

$$\boxed{B_\text{ind} = 37{,}7\;\mu\text{T}\quad (-\hat{k})}$$

Resum final de totes les respostes
a) $\Phi_B(t) = 6{,}283 \times 10^{-4}(1 + 3t^2 + 2t^3)\;\text{Wb}$
b) $|\mathcal{E}(5)| = 113\;\text{mV}$
c.i) $R = 0{,}0377\;\Omega$, $\;S = 1{,}40\;\text{mm}^2$
c.ii) $B_\text{ind} = 37{,}7\;\mu\text{T}$ en direcció contrària al camp extern