LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Espectre visible en l’aire i en l’aigua
Espectre visible en l’aire i en l’aigua
Espectre visible en l’aire i en l’aigua
Enunciat. L’espectre visible en l’aire està comprès entre les longituds d’ona 380 nm (violeta) i 780 nm (vermell).
a) Calculeu les freqüències d’aquestes radiacions extremes. Quina d’elles es propaga a major velocitat?
b) Determineu entre quines longituds d’ona està comprès l’espectre visible en l’aigua, l’índex de refracció de la qual és \( 4/3 \).
(\( c = 3 \cdot 10^{8} \) m·s⁻¹)
a) Calculeu les freqüències d’aquestes radiacions extremes. Quina d’elles es propaga a major velocitat?
b) Determineu entre quines longituds d’ona està comprès l’espectre visible en l’aigua, l’índex de refracció de la qual és \( 4/3 \).
(\( c = 3 \cdot 10^{8} \) m·s⁻¹)
Apartat a) §1
La llum visible, igual que altres radiacions, consisteix en la propagació d’ones electromagnètiques (o.e.m.) de diferents freqüències. Segons la freqüència, la llum serà d’un color o d’un altre. El problema ens dóna les dades sobre les longituds d’ona de dues radiacions.
La relació entre la freqüència de la radiació (\( f \)) i la longitud d’ona en un medi determinat (\( \lambda \)) ve donada per
\[
f = \dfrac{v}{\lambda}
\]
on \( v \) és la velocitat de propagació de la llum en el medi. En l’aire, podem considerar que aquesta velocitat és igual a la del buit, \( c = 3 \cdot 10^{8} \) m·s⁻¹.
Així, per a la llum violeta:
\[
f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3\cdot 10^{8}\,\text{m·s}^{-1}}{380\cdot 10^{-9}\,\text{m}} = 7{,}89 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}
\]
I per a la llum vermella:
\[
f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3\cdot 10^{8}\,\text{m·s}^{-1}}{780\cdot 10^{-9}\,\text{m}} = 3{,}85 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}
\]
En primera aproximació hem tingut en compte que, considerant l’aire com un medi homogeni (no dispersiu), la velocitat de propagació no depèn de la freqüència (si no, seria impossible resoldre el problema sense més dades), així que totes les radiacions es transmeten per l’aire a la mateixa velocitat \( c \).
Apartat b) §2
La velocitat de propagació d’una ona depèn del medi pel qual aquesta es propagui. Això fa que variï la longitud d’ona corresponent a una determinada freqüència. La freqüència, com que depèn exclusivament del focus emissor d’ones, no varia en canviar de medi.
L’índex de refracció d’un medi (\( n \)) ens indica quantes vegades és major la velocitat de la llum en el buit (\( c \)) que en aquest medi (\( v \)):
\[
n = \dfrac{c}{v} \quad \Rightarrow \quad v = \dfrac{c}{n}
\]
Això ens permet calcular la velocitat de propagació de la llum en l’aigua:
\[
v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3\cdot 10^{8}}{4/3} = 2{,}25 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}
\]
Calculem ara les longituds d’ona en l’aigua aplicant la mateixa expressió i les freqüències obtingudes a l’apartat anterior.
Llum violeta:
\[
\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{2{,}25\cdot 10^{8}}{7{,}89\cdot 10^{14}} = 2{,}85 \cdot 10^{-7}\,\text{m} = 285\,\text{nm}
\]
Llum vermella:
\[
\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{2{,}25\cdot 10^{8}}{3{,}85\cdot 10^{14}} = 5{,}84 \cdot 10^{-7}\,\text{m} = 584\,\text{nm}
\]
Com veiem, en passar a un medi en què la llum es propaga a menor velocitat, la longitud d’ona disminueix.
Resultat final §3
a) \( f_{\text{violeta}} = 7{,}89\cdot 10^{14} \) Hz · \( f_{\text{vermell}} = 3{,}85\cdot 10^{14} \) Hz
b) Espectre en aigua: 285 nm – 584 nm
b) Espectre en aigua: 285 nm – 584 nm
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss www.campanadegauss.cat