Esfera homogènia roda sense lliscar per un pla inclinat

Una esfera homogènia de massa \( m \) i radi \( R \) roda sense lliscar per un pla inclinat amb un angle \( \beta \). Dades: \( \beta = 30^\circ \), \( m = 0.5 \) kg, \( R = 15 \) cm, \( L = 2.5 \) m, Moment d’inèrcia respecte al centre de masses: \( I_{CM} = \frac{2}{5} m R^2 \) Suposar \( g = 10 \) m/s². a) Dibuixar les forces que actuen sobre l’esfera i expressar les equacions de la dinàmica de rotació i de translació. b) Calcular l’acceleració del centre de masses, l’acceleració angular respecte al centre de masses i la força de fregament. c) Si inicialment es trobava en repòs, calcular la velocitat del centre de masses i la velocitat angular de rotació quan ha rodat pel pla una longitud \( L \).

Pas 1: Anàlisi de forces i equacions de moviment

a) Dibuix de forces i equacions de la dinàmica Les forces que actuen sobre l’esfera són:

1. Pes \( \mathbf{P} = mg \), amb components:

• Paral·lela al pla: \( P_{\parallel} = mg \sin \beta \)

• Perpendicular al pla: \( P_{\perp} = mg \cos \beta \)

2. Normal \( \mathbf{N} \): Actua perpendicularment al pla i equilibra \( P_{\perp} \), per tant: \[ N = mg \cos \beta \]

3. Força de fregament \( \mathbf{f_r} \): És una força de fregament estàtic que permet la rodadura sense lliscament. Té una direcció paral·lela al pla i actua en sentit contrari al moviment.

Equacions de translació i rotació

1. Segona llei de Newton per al moviment del centre de masses en la direcció del pla: \[ mg \sin \beta – f_r = ma \]

2. Equació de la dinàmica de rotació respecte al centre de masses: \[ f_r R = I_{CM} \alpha \] Com que el moment d’inèrcia de l’esfera és \( I_{CM} = \frac{2}{5} mR^2 \), tenim: \[ f_r R = \left(\frac{2}{5} mR^2\right) \alpha \]

3. Condició de rodadura sense lliscament: \[ a = \alpha R \]

Pas 2: Càlcul de l’acceleració del centre de masses, l’acceleració angular i la força de fregament

a) Acceleració del centre de masses \( a \) Utilitzem l’equació de rotació amb la condició de rodadura:\[f_r R = \frac{2}{5} m R^2 \alpha\]Substituint \( \alpha = a/R \):\[f_r R = \frac{2}{5} m R^2 \cdot \frac{a}{R}\]\[f_r = \frac{2}{5} m a\]Substituint-ho en l’equació de translació:\[mg \sin \beta – \frac{2}{5} ma = ma\]Factoritzem \( m \):\[g \sin \beta = a + \frac{2}{5} a\]\[g \sin \beta = \frac{7}{5} a\]\[a = \frac{5}{7} g \sin \beta\]Substituint els valors donats (\( g = 10 \) m/s², \( \beta = 30^\circ \), \( \sin 30^\circ = 1/2 \)):\[a = \frac{5}{7} (10 \times \frac{1}{2})\]\[a = \frac{5}{7} \times 5 = \frac{25}{7} \approx 3.57 \text{ m/s}^2\]

b) Acceleració angular \( \alpha \) \[\alpha = \frac{a}{R} = \frac{3.57}{0.15}\]\[\alpha \approx 23.8 \text{ rad/s}^2\]

c) Força de fregament \( f_r \) \[f_r = \frac{2}{5} m a\]\[f_r = \frac{2}{5} (0.5) (3.57)\]\[f_r \approx 0.71 \text{ N}\]

Pas 3: Velocitat del centre de masses i velocitat angular després de recórrer \( L = 2.5 \) m Utilitzem l’equació de cinemàtica:\[v^2 = v_0^2 + 2 a L\]Com que parteix del repòs (\( v_0 = 0 \)):\[v^2 = 2 a L\]\[v = \sqrt{2 \times 3.57 \times 2.5}\]\[v = \sqrt{17.85} \approx 4.22 \text{ m/s}\]La velocitat angular \( \omega \) es troba amb la condició de rodadura:\[\omega = \frac{v}{R} = \frac{4.22}{0.15}\]\[\omega \approx 28.1 \text{ rad/s}\]

Resultats finals

1. Acceleració del centre de masses: \( a \approx 3.57 \) m/s²

2. Acceleració angular: \( \alpha \approx 23.8 \) rad/s²

3. Força de fregament: \( f_r \approx 0.71 \) N

4. Velocitat del centre de masses després de recórrer \( L \): \( v \approx 4.22 \) m/s

5. Velocitat angular després de recórrer \( L \): \( \omega \approx 28.1 \) rad/s