Equilibri de Càrregues Suspeses amb Camp Gravitatori

Dos petits esfèrics, de massa $m = 5 \, \text{g}$ i amb càrrega $q$, cada un, es suspenen del mateix punt mitjançant fils iguals, de massa desprenible i longitud $L = 0,5 \, \text{m}$, en presència d’un camp gravitatori terrestre. En equilibri, els fils formen un angle $\alpha = 60^\circ$ respecte a la vertical. ${\text{Considera } g = 10 \, \text{N/kg}^{-1}, k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \cdot 10^9 \, \text{Nm}^2\text{C}^{-2}}$

Dibuixem, en primer lloc, les forces que actuen sobre cada una de les càrregues (pes, repulsió elèctrica i tensió del fil). A continuació, es descomponen les tensions seguint el sistema habitual de coordenades cartesianes $y$ i es aplica la condició d’equilibri:
$$\begin{cases}
F_{\text{neta},x} = 0: F_e – T \cos 60^\circ = 0 \\
F_{\text{neta},y} = 0: T \sin 60^\circ – P = 0
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
F_e = T \cos 60^\circ \\
P = T \sin 60^\circ
\end{cases}$$
Al dividir la 2ª equació per la 1ª, es obté:
$$\frac{P}{F_e} = \tan 60^\circ, \quad mg = \sqrt{3} k \frac{q^2}{r^2},$$
i aquesta distància entre les càrregues coincideix amb la longitud del fil. De la darrera expressió es dedueix:
$$q^2 = \frac{mgL^2}{\sqrt{3} k}, \quad \frac{5 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot 0,25}{\sqrt{3} \cdot 9 \cdot 10^9} = 8 \cdot 10^{-13} \, (\text{C}^2)$$
$$q = 9 \cdot 10^{-7} \, (\text{C}).$$