Equació de la corba que forma fil sota el seu propi pes

Un fil flexible i homogeni està suspès pels seus dos extrems. Trobar l’equació de la corba que forma aquest fil sota el seu propi pes (la forma que prenen les cordes, cables i cadenes suspeses).

Sigui \( M_0(0, b) \) el punt més baix del fil, i \( M \), un punt arbitrari (figura).

Examinem la part \( M_0M \) del fil. Aquesta part està equilibrada sota l’acció de tres forces:1) la tensió \( T \), que actua al llarg de la tangent al punt \( M \), i forma amb l’eix \( Ox \) l’angle \( \varphi \);2) la tensió \( H \), al punt \( M_0 \), que actua horitzontalment;3) el pes \( \gamma S \) del fil, dirigit verticalment cap avall; on \( S \) és la longitud de l’arc \( M_0M \), i \( \gamma \) és el pes específic lineal del fil.Descomponent \( T \) en les seves components horitzontal i vertical, obtenim les equacions de l’equilibri: \( T \cos \varphi = H \), \( T \sin \varphi = \gamma S \).Dividint la segona igualtat per la primera, obtenim:\[\operatorname{tg} \varphi = \frac{\gamma}{H} S.\]

Suposem ara que l’equació de la corba buscada es pot escriure en la forma: \( y = f(x) \). Aquí, \( f(x) \) és la funció que hem de trobar. Notem que\[\operatorname{tg} \varphi = f'(x) = \frac{dy}{dx}.\]Per tant,\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a} S,\]on per \( a \) està designada la raó \( \frac{H}{\gamma} \).Derivem respecte a \( x \) ambdós membres de la igualtat (4):\[\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{a} \frac{ds}{dx}.\]Però ja sabem (vegeu § 1, cap. VI) que:\[\frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2}.\]Posant aquesta expressió en l’equació (5) obtenim l’equació diferencial de la corba buscada:\[\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{a} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2}.\]Aquesta funció expressa la relació entre derivades primera i segona de la funció desconeguda \( y \).Sense prestar atenció als mètodes de resolució d’equacions, indiquem que tota funció de la forma\[y = \frac{a}{2} \left[ e^{\left( \frac{x}{a} + C_1 \right)} + e^{-\left( \frac{x}{a} + C_1 \right)} \right] + C_2\]satisfà l’equació (6), qualsevol que siguin els valors de les constants \( C_1 \) i \( C_2 \). És fàcil comprovar-ho, introduint les derivades primera i segona de la funció mencionada en l’equació (6). Indiquem sense demostració que aquestes funcions (per diferents \( C_1 \) i \( C_2 \)). Les gràfiques de totes aquestes funcions obtenen de manera que semblen catenàries. Aclarim, ara, com s’ha d’elegir les constants \( C_1 \) i \( C_2 \) per a obtenir precisament la catenària en què el punt inferior \( M \) tinga les coordenades \( (0, b) \). Donat que, per a \( x = 0 \), el punt de la catenària ocupa la posició més baixa, la tangent a este punt és horitzontal, és a dir, \( \frac{dy}{dx} = 0 \). A més, segons la hipòtesi, en el punt indicat l’ordenada és igual a \( b \), és a dir, \( y = b \).De l’equació (7) se’n dedueix:\[y’ = \frac{1}{2} \left( e^{\left( \frac{x}{a} + C_1 \right)} – e^{-\left( \frac{x}{a} + C_1 \right)} \right).\]Posant aquí \( x = 0 \), obtenim: \( 0 = \frac{1}{2} \left( e^{C_1} – e^{-C_1} \right) \). Per tant, \( C_1 = 0 \).

Si \( b \) és l’ordenada del punt \( M_0 \), aleshores \( y = b \) per a \( x = 0 \).Suposant que \( x = 0 \), \( C_1 = 0 \) de l’equació (7) obtenim \( b = \frac{a}{2} (1 + 1) + C_2 \), de manera que: \( C_2 = b – a \).En definitiva trobem:\[y = \frac{a}{2} \left( e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}} \right) + b – a.\]L’equació (7) es simplifica considerablement, si prenem l’ordenada del punt \( M_0 \) igual al número \( a \). En aquest cas, l’equació de la catenària serà:\[y = \frac{a}{2} \left( e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}} \right).\]