LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Energia cinètica mitjana d’una molècula
Energia cinètica mitjana d’una molècula
Energia cinètica mitjana d’una molècula
Enunciat. Trobar el valor de l’energia cinètica mitjana del moviment de translació d’una molècula d’heli que, a una pressió de 100 kPa, té una densitat de 0,12 kg/m³.
Dades: \( p = 100 \) kPa; \( \rho = 0{,}12 \) kg/m³; \( \mu = 4{,}0 \cdot 10^{-3} \) kg/mol; \( N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23} \) mol⁻¹.
Dades: \( p = 100 \) kPa; \( \rho = 0{,}12 \) kg/m³; \( \mu = 4{,}0 \cdot 10^{-3} \) kg/mol; \( N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23} \) mol⁻¹.
Equació fonamental de la teoria cinètica molecular §1
L’equació principal de la teoria cinètica molecular dels gasos estableix:
\[
p = \dfrac{2}{3}\, n_0 \,\varepsilon
\]
on \( p \) és la pressió, \( n_0 \) el nombre de molècules per unitat de volum i \( \varepsilon \) l’energia cinètica mitjana de translació d’una molècula.
Despejant \( \varepsilon \):
\[
\varepsilon = \dfrac{3}{2} \dfrac{p}{n_0}
\]
Nombre de molècules per unitat de volum §2
El nombre de molècules per metre cúbic és:
\[
n_0 = \dfrac{N_A \,\rho}{\mu}
\]
Càlcul de l’energia cinètica mitjana §3
Substituint \( n_0 \) a l’expressió de \( \varepsilon \):
\[
\varepsilon = \dfrac{3}{2} \dfrac{p \,\mu}{N_A \,\rho}
\]
Introduïm els valors numèrics (amb \( p = 100 \cdot 10^3 \) Pa):
\[
\varepsilon = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{(1{,}00 \cdot 10^{5}) \cdot (4{,}0 \cdot 10^{-3})}{(6{,}02 \cdot 10^{23}) \cdot (0{,}12)}
= 8{,}31 \cdot 10^{-21}\ \text{J}
\]
Observació §4
Amb les mateixes dades es pot obtenir també la velocitat quadràtica mitjana:
\[
v_{\text{rms}} = \sqrt{\dfrac{3p}{\rho}} \approx 1{,}58 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}
\]
i la temperatura absoluta del gas:
\[
T = \dfrac{2\varepsilon}{3k} \quad (k = \text{constant de Boltzmann})
\]
Solució final §5
\( \varepsilon = 8{,}3 \cdot 10^{-21} \) J
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss www.campanadegauss.cat