LEMNISCATA
Matemàtiques
En una determinada població d’adults sans, la concentració mitjana de colesterol en sang segueix una distribució normal amb mitjana $190$ mg/dl i desviació típica $30$ mg/dl. Un nivell elevat de colesterol pot indicar possibles problemes de salut. 1) Calcula la probabilitat que un adult sa de la població tingui un nivell de colesterol superior a $250$ mg/dl. 2) Calcula quin nivell de colesterol només superen l’$1\%$ d’adults sans de la població esmentada.
La concentració de colesterol en sang segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 190$ mg/dl i desviació típica $\sigma = 30$ mg/dl.
Per calcular la probabilitat que un adult tingui un nivell de colesterol superior a $250$ mg/dl, primer calculem el valor $z$ corresponent a $250$ mg/dl amb la fórmula de la normalitzada:
$$z = \frac{x – \mu}{\sigma}$$
On:
$$z = \frac{250 – 190}{30} = \frac{60}{30} = 2$$
Ara, utilitzem la taula de la distribució normal estàndard per trobar la probabilitat acumulada fins a $z = 2$. La probabilitat acumulada $P(Z \leq 2)$ és aproximadament $0.9772$.
La probabilitat que un adult sa tingui un nivell de colesterol superior a $250$ mg/dl és:
$$P(X > 250) = 1 – P(Z \leq 2) = 1 – 0.9772 = 0.0228$$
Per tant, la probabilitat és $0.0228$, o el que és el mateix, $2.28\%$.
Per trobar el nivell de colesterol que només superen l’$1\%$ d’adults sans, hem de trobar el valor de $z$ que correspon al percentil $99\%$ de la distribució normal estàndard. Busquem el valor de $z$ tal que:
$$P(Z \leq z) = 0.99$$
Mirant les taules de la distribució normal estàndard, el valor de $z$ corresponent a una probabilitat acumulada de $0.99$ és aproximadament $2.33$.
Ara, revertim la normalització per trobar el valor corresponent de colesterol $x$:
$$x = \mu + z \cdot \sigma$$
On:
$$x = 190 + 2.33 \cdot 30 = 190 + 69.9 = 259.9 \text{ mg/dl}$$
Per tant, el nivell de colesterol que només superen l’1% dels adults sans és aproximadament $259.9$ mg/dl.