El colesterol i la distribució normal

El colesterol i la distribució normal
2 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Matemàtiques, Probabilitat Oscar Alex Fernandez Mora

En una determinada població d’adults sans, la concentració mitjana de colesterol en sang segueix una distribució normal amb mitjana $190$ mg/dl i desviació típica $30$ mg/dl. Un nivell elevat de colesterol pot indicar possibles problemes de salut. 1) Calcula la probabilitat que un adult sa de la població tingui un nivell de colesterol superior a $250$ mg/dl. 2) Calcula quin nivell de colesterol només superen l’$1\%$ d’adults sans de la població esmentada.

1) Càlcul de la probabilitat que un adult sa tingui un nivell de colesterol superior a $250$ mg/dl

La concentració de colesterol en sang segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 190$ mg/dl i desviació típica $\sigma = 30$ mg/dl.

Per calcular la probabilitat que un adult tingui un nivell de colesterol superior a $250$ mg/dl, primer calculem el valor $z$ corresponent a $250$ mg/dl amb la fórmula de la normalitzada:

$$z = \frac{x – \mu}{\sigma}$$

On:

  • $x = 250$ mg/dl
  • $\mu = 190$ mg/dl
  • $\sigma = 30$ mg/dl

$$z = \frac{250 – 190}{30} = \frac{60}{30} = 2$$

Ara, utilitzem la taula de la distribució normal estàndard per trobar la probabilitat acumulada fins a $z = 2$. La probabilitat acumulada $P(Z \leq 2)$ és aproximadament $0.9772$.

La probabilitat que un adult sa tingui un nivell de colesterol superior a $250$ mg/dl és:

$$P(X > 250) = 1 – P(Z \leq 2) = 1 – 0.9772 = 0.0228$$

Per tant, la probabilitat és $0.0228$, o el que és el mateix, $2.28\%$.

2) Càlcul del nivell de colesterol que només superen l’$1\%$ d’adults sans

Per trobar el nivell de colesterol que només superen l’$1\%$ d’adults sans, hem de trobar el valor de $z$ que correspon al percentil $99\%$ de la distribució normal estàndard. Busquem el valor de $z$ tal que:

$$P(Z \leq z) = 0.99$$

Mirant les taules de la distribució normal estàndard, el valor de $z$ corresponent a una probabilitat acumulada de $0.99$ és aproximadament $2.33$.

Ara, revertim la normalització per trobar el valor corresponent de colesterol $x$:

$$x = \mu + z \cdot \sigma$$

On:

  • $z = 2.33$
  • $\mu = 190$ mg/dl
  • $\sigma = 30$ mg/dl

$$x = 190 + 2.33 \cdot 30 = 190 + 69.9 = 259.9 \text{ mg/dl}$$

Per tant, el nivell de colesterol que només superen l’1% dels adults sans és aproximadament $259.9$ mg/dl.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *