Ecuacions amb variables separades i separables

S’ha establert que la velocitat de desintegració del radi és directament proporcional a la seva massa en cada instant donat. Determinar la llei de variació de la massa del radi en funció del temps, si per a \( t = 0 \) la massa del radi era \( m_0 \).

La velocitat de desintegració es determina de la manera següent. Sigui \( m \) la massa en l’instant \( t \) i \( m + \Delta m \) en l’instant \( t + \Delta t \). La massa desintegrada durant el temps \( \Delta t \) és \( \Delta m \). La raó \( \frac{\Delta m}{\Delta t} \) és la velocitat mitjana de desintegració. El límit d’aquesta raó per a \( \Delta t \to 0 \):$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{dm}{dt}$$és la velocitat de desintegració del radi en l’instant \( t \).Segons la hipòtesi:$$\frac{dm}{dt} = -k m,\tag{2}\label{eq:massa}$$on \( k \) és un coeficient de proporcionalitat (\( k > 0 \)). Posem el signe menys perquè, a mesura que transcorre el temps, la massa del radi disminueix i, per tant, \( \frac{dm}{dt} < 0 \). L’equació (4) és una equació amb variables separables. Separem les variables:$$\frac{dm}{m} = -k \, dt.$$Resolent l’equació, obtenim:$$\ln m = -k t + \ln C,$$d’on$$\begin{aligned}\ln \frac{m}{C} &= -k t, \\m &= C e^{-k t}.\end{aligned}$$Donat que la massa del radi és igual a \( m_0 \) en l’instant \( t = 0 \), aleshores \( C \) ha de satisfer la correlació:$$m_0 = C e^{-k \cdot 0} = C.$$Introduint el valor de \( C \) en l’equació (5), obtenim la dependència cercada (vegeu la figura 249) de la massa del radi en funció del temps:$$m = m_0 e^{-k t}.$$El coeficient \( k \) es determina experimentalment de la manera següent. Sigui \( \alpha \) el percentatge de la massa inicial del radi desintegrada durant el temps \( t_0 \). Per tant, es compleix la correlació:$$\left(1 – \frac{\alpha}{100}\right) m_0 = m_0 e^{-k t_0},$$d’on:$$-k t_0 = \ln \left(1 – \frac{\alpha}{100}\right),$$o$$k = -\frac{1}{t_0} \ln \left(1 – \frac{\alpha}{100}\right).$$D’aquesta manera, hem establert que per al radi \( k = 0,00044 \) (la unitat de mesura del temps és l’any). Substituint aquest valor de \( k \) en la fórmula (6), tenim:$$m = m_0 e^{-0,00044 t}.$$Calculem el període de semidesintegració del radi, és a dir, l’interval de temps durant el qual es desintegra la meitat de la massa inicial del radi. Substituint \( m \) en la darrera fórmula pel valor \( \frac{m_0}{2} \), obtenim l’equació per determinar el període \( T \) de semidesintegració:$$\frac{m_0}{2} = m_0 e^{-0,00044 T},$$d’on:$$-0,00044 T = -\ln 2,$$o sigui,$$T = \frac{\ln 2}{0,00044} = 1590 \text{ anys}.$$Notem que molts altres problemes físics i químics condueixen a una equació de la forma \eqref{eq:massa}