Dos plans es tallen en una recta

Calcula sabent que els plans \( ax + y – 7z = -5 \) i \( x + 2y + a^2z = 8 \), es tallen en una recta que passa pel punt \( A(0, 2, 1) \) però que no passa pel punt \( B(6, -3, 2) \).

Perquè es tallin en una recta, el sistema \(\begin{cases} ax + y – 7z = -5 \\ x + 2y + a^2z = 8 \end{cases}\) ha de ser compatible indeterminat, o sigui \(\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \neq 0\). Per tant, \( 2a – 1 \neq 0 \), \( a \neq \frac{1}{2} \).Com que la recta ha de passar per \( A(0, 2, 1) \), \(\begin{cases} a \cdot 0 + 2 – 7 \cdot 1 = -5 \\ 0 + 2 \cdot 2 + a^2 \cdot 1 = 8 \end{cases} \); \( a^2 = 4 \); \( a = \pm 2 \).Com que la recta NO ha de passar per \( B(6, -3, 2) \), \(\begin{cases} a \cdot 6 – 3 – 7 \cdot 2 \neq -5 \\ 6 + 2 \cdot (-3) + a^2 \cdot 2 \neq 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \neq 2 \\ a^2 \neq 4 \end{cases}\).Per tant, l’única possibilitat és que \( a = -2 \).