Domini de la funció logarítmica

Trobeu el domini de la funció: $$f(x) = \log!\left( \frac{x-1}{\sqrt{-x^2 + 2x + 15}} \right).$$

La funció és una composició d’una arrel quadrada, una fracció i un logaritme. Perquè $f(x)$ estigui definida, cal complir totes les condicions següents:

1. Denominador no nul (arrel definida i no zero)

$$\sqrt{-x^2 + 2x + 15} > 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 2x + 15 > 0.$$

2. Argument del logaritme positiu

$$\frac{x-1}{\sqrt{-x^2 + 2x + 15}} > 0.$$

3. Expressió dins de l’arrel definida (real)

Ja inclosa al punt 1: $-x^2 + 2x + 15 > 0$.

Pas 1: Resoldre $-x^2 + 2x + 15 > 0$

Considerem el polinomi:
$$p(x) = -x^2 + 2x + 15.$$
Reescrivim:
$$p(x) = -(x^2 – 2x – 15).$$
Arrels de $x^2 – 2x – 15 = 0$:
$$\Delta = 4 + 60 = 64 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2 \pm 8}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 5 \quad \text{o} \quad x = -3.$$
Així:
$$p(x) = -(x + 3)(x – 5).$$
Com que el coeficient de $x^2$ és negatiu, $p(x) > 0$ entre les arrels:
$$-3 < x < 5.$$

Condició 1: $x \in (-3, 5)$.

Pas 2: Argument del logaritme positiu

$$\frac{x-1}{\sqrt{-x^2 + 2x + 15}} > 0.$$
El denominador és sempre positiu dins del domini de l’arrel (ja que $\sqrt{\cdot} > 0$). Per tant, el signe de la fracció depèn només del numerador:
$$x – 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1.$$

Condició 2: $x > 1$.

Pas 3: Intersecció de les condicions

$$\boxed{\text{Domini de } f} = (-3, 5) \cap (1, \infty) = (1, 5).$$

Verificació als extrems

• En $x = 1$: numerador $1-1=0$ → logaritme de $0$ → no definit.
• En $x = 5$: arrel $= 0$ → denominador $0$ → no definit.
• Per $x \in (1, 5)$: totes les condicions es compleixen.

Resposta final

El domini de la funció és:
$$\boxed{(1,5)}$$