Distribució del nombre de germans que tenen els estudiants d’un curs acadèmic

La taula següent recull informació sobre el nombre de germans que tenen els estudiants d’un determinat curs acadèmic.

Nombre total d’estudiants: $N = 40$

a) Calcula la mitjana aritmètica, la variància i la desviació típica de la variable «nombre de germans».

$$\begin{align} \bar{x} &= \frac{\sum x_i f_i}{N} = \frac{0\cdot6 + 1\cdot15 + 2\cdot13 + 3\cdot4 + 4\cdot2}{40} = \frac{61}{40} = \mathbf{1,525} \end{align}$$

$$\sum x_i^2 f_i = 0^2\cdot6 + 1^2\cdot15 + 2^2\cdot13 + 3^2\cdot4 + 4^2\cdot2 = 135$$

Variància poblacional:
$$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 f_i}{N} – \bar{x}^2 = \frac{135}{40} – (1{,}525)^2 = 3{,}375 – 2{,}325625 = \mathbf{1{,}049375}$$

Desviació típica:
$$\sigma = \sqrt{1{,}049375} \approx \mathbf{1{,}024}$$

Resposta a):
Mitjana aritmètica: $\bar{x} = 1{,}525$
Variància: $\sigma^2 = 1{,}049375$
Desviació típica: $\sigma \approx 1{,}024$

b) Calcula la mediana de la variable «nombre de germans».

Freqüències acumulades:

Com que (N=40) és parell, la mediana és la mitjana dels valors en les posicions 20 i 21.
Amb 21 estudiants ja tenim fins a 1 germà → les posicions 20 i 21 corresponen a estudiants amb 1 germà.

Mediana = 1 germà

c) Quin percentatge d’estudiants tenen més de dos germans?

Estudiants amb 3 o 4 germans: (4 + 2 = 6)

$$\text{Percentatge} = \frac{6}{40} \times 100\% = \mathbf{15\%}$$

Resposta c): 15 % dels estudiants tenen més de dos germans.

Resum final de respostes

• a) $\bar{x} = 1{,}525$, $\sigma^2 = 1{,}049375$, $\sigma \approx 1{,}024$
• b) Mediana = 1 germà
• c) $15\%$