Distància entre una recta i un pla

Trobeu la distància entre la recta definida per $r:\begin{cases}x – z = 3 \\ x + 2y + 4z = 6\end{cases}$ i el pla $\pi = 3x + 2y + 2z = 5$.

---

Pas 1: Parametritzar la recta

Les equacions de la recta són:

$$\begin{cases}
x – z = 3 \\
x + 2y + 4z = 6
\end{cases}$$

Expressem la recta en forma paramètrica. De la primera equació, $x – z = 3$, tenim:

$$z = x – 3$$

Substituïm $z = x – 3$ a la segona equació $x + 2y + 4z = 6$:

$$x + 2y + 4(x – 3) = 6$$

$$x + 2y + 4x – 12 = 6$$

$$5x + 2y = 18$$

$$2y = 18 – 5x \implies y = \frac{18 – 5x}{2}$$

Parametritzem amb $x = t$:

$$y = \frac{18 – 5t}{2}, \quad z = t – 3$$

Les equacions paramètriques de la recta són:

$$x = t, \quad y = \frac{18 – 5t}{2}, \quad z = t – 3$$

Un punt de la recta quan $t = 0$ és:

$$(0, 9, -3)$$

El vector director de la recta es dedueix dels coeficients de $t$:

$$\vec{v} = \left(1, -\frac{5}{2}, 1\right)$$

---

Pas 2: Comprovar la posició relativa de la recta respecte al pla

El pla té l’equació:

$$3x + 2y + 2z = 5$$

El vector normal del pla és:

$$\vec{n} = (3, 2, 2)$$

Per determinar si la recta és paral·lela al pla, calculem el producte escalar entre el vector director de la recta $\vec{v} = \left(1, -\frac{5}{2}, 1\right)$ i el vector normal del pla $\vec{n} = (3, 2, 2)$:

$$\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 3 + \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot 2 + 1 \cdot 2$$

$$= 3 – 5 + 2 = 0$$

Com que el producte escalar és zero, la recta és paral·lela al pla o continguda en ell. Per decidir entre aquestes dues possibilitats, comprovem si un punt de la recta satisfà l’equació del pla. Prenem el punt $(0, 9, -3)$:

$$3(0) + 2(9) + 2(-3) = 0 + 18 – 6 = 12 \neq 5$$

Com que el punt no pertany al pla, la recta no està continguda en el pla i, per tant, és paral·lela al pla.

---

Pas 3: Calcular la distància

Quan una recta és paral·lela a un pla, la distància entre ells és igual a la distància d’un punt qualsevol de la recta al pla. Utilitzem la fórmula de la distància d’un punt $(x_0, y_0, z_0)$ a un pla $ax + by + cz + d = 0$:

$$\text{Distància} = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

Reescrivim l’equació del pla $3x + 2y + 2z = 5$ en la forma $3x + 2y + 2z – 5 = 0$, on $a = 3$, $b = 2$, $c = 2$, $d = -5$. Prenem el punt de la recta $(0, 9, -3)$:

$$\text{Distància} = \frac{|3(0) + 2(9) + 2(-3) – 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 2^2}}$$

$$= \frac{|0 + 18 – 6 – 5|}{\sqrt{9 + 4 + 4}} = \frac{|18 – 6 – 5|}{\sqrt{17}} = \frac{|7|}{\sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{17}}$$

Per obtenir una forma més simplificada, racionalitzem el denominador:

$$\frac{7}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}} = \frac{7\sqrt{17}}{17}$$

Per verificar, prenem un altre punt de la recta, per exemple, amb $t = 1$:

$$x = 1, \quad y = \frac{18 – 5 \cdot 1}{2} = \frac{13}{2}, \quad z = 1 – 3 = -2$$

Punt: $\left(1, \frac{13}{2}, -2\right)$. Substituïm:

$$\text{Distància} = \frac{\left|3(1) + 2\left(\frac{13}{2}\right) + 2(-2) – 5\right|}{\sqrt{17}}$$

$$= \frac{\left|3 + 13 – 4 – 5\right|}{\sqrt{17}} = \frac{|7|}{\sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{17}}$$

---

Resposta final

La distància entre la recta definida per $r:\begin{cases}x – z = 3 \\ x + 2y + 4z = 6\end{cases}$ i el pla $\pi = 3x + 2y + 2z = 5$ és:

$$\frac{7\sqrt{17}}{17} \text{ unitats}$$