Distància al centre de la Lluna on la velocitat d’un cos es redueix a la meitat després d’assolir la velocitat d’escapament

Un cos ha assolit la velocitat d’escapament a la superfície de la Lluna. A quina distància rr del centre de la Lluna haurà reduït la seva velocitat a la meitat?
(Dades: Radi de la Lluna $R_L = 1738 \, \text{km}$, acceleració de la gravetat a la Lluna $g_L = 1{,}62 \, \text{m/s}^2$).

La velocitat d’escapament a la superfície de la Lluna és: $$v_{\text{esc},L} = \sqrt{2 g_L R_L}$$

Convertim el radi a metres: $$R_L = 1738 \, \text{km} = 1,738 \times 10^{6} \, \text{m}$$

Calcul de la velocitat d’escapament: $$v_{\text{esc},L} = \sqrt{2 \times 1{,}62 \times 1{,}738 \times 10^{6}} = \sqrt{5{,}63 \times 10^{6}} \approx 2373 \, \text{m/s}$$

Ara, volem trobar la distància $r$ on la velocitat del cos és la meitat de la velocitat d’escapament, és a dir: $$v = \frac{1}{2} v_{\text{esc},L} = \frac{2373}{2} = 1186,5 \, \text{m/s}$$

Considerem que l’energia mecànica total del cos és zero (com que ha assolit la velocitat d’escapament), i que només actua la força gravitatòria. Per conservació d’energia: $$E = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{G M_L m}{r} = 0$$

Des d’aquí, podem expressar: $$\frac{1}{2} v^2 = \frac{G M_L}{r}$$

Però sabem que a la superfície: $$v_{\text{esc},L}^2 = \frac{2 G M_L}{R_L} \quad \Rightarrow \quad G M_L = \frac{v_{\text{esc},L}^2 R_L}{2}$$

Substituïm a l’equació anterior: $$\frac{1}{2} v^2 = \frac{v_{\text{esc},L}^2 R_L}{2 r} \implies v^2 = \frac{v_{\text{esc},L}^2 R_L}{r}$$

Reorganitzem per trobar $r$: $$r = \frac{v_{\text{esc},L}^2 R_L}{v^2}$$

Substituïm $v = \frac{v_{\text{esc},L}}{2}$: $$r = \frac{v_{\text{esc},L}^2 R_L}{\left(\frac{v_{\text{esc},L}}{2}\right)^2} = \frac{v_{\text{esc},L}^2 R_L}{\frac{v_{\text{esc},L}^2}{4}} = 4 R_L$$

Resposta final:
La velocitat es redueix a la meitat quan el cos es troba a una distància igual a quatre vegades el radi de la Lluna, és a dir, $r = 4 \times 1738 = 6952 \, \text{km}$