Considera el sistema d’equacions següent, on $k$ és un paràmetre real: $$\begin{cases}x + y + z = 1 \\ 2x + 3y + kz = 2 \\ 3x + ky + (k+1)z = 3\end{cases}$$

• [a)] Escriu el sistema en forma matricial $AX = B$, identificant les matrius $A$, $X$ i $B$.
  
• [b)] Calcula el determinant de la matriu de coeficients $A$ en funció de $k$ ($\det(A)$).
  
• [c)] Discuteix el nombre de solucions del sistema segons els valors de $k$: indica per quins valors de $k$ té solució única, per quins té infinitat de solucions i per quins no en té cap. Justifica amb el rang de la matriu ampliada si cal per als casos crítics.

a) Forma matricial $AX=B$

$$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\2 & 3 & k\\ 3 & k & k+1\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix},$$

i.e. (AX=B).

b) Determinant $\det(A)$

Calculem $\det(A)$ per desenvolupament per la primera fila:

$$\det(A)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}3&k \\ k&k+1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2&k \\ 3&k+1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2&3 \\ 3&k\end{pmatrix}.$$

Avaluant cada determinant:

$$\det(A)= (3(k+1)-k^2)- (2(k+1)-3k) + (2k-9).$$

Simplificant:

$$\det(A)= -k^2+3k+3 + k-2 +2k-9 = -k^2+6k-8.$$

Factoritzant:

$$\boxed{\det(A)= – (k-2)(k-4).}$$

c) Discussió del nombre de solucions segons $k$

• Si $\det(A)\neq0$ ⇔ $k\neq2$ i $k\neq4$: la matriu $A$ és invertible i el sistema té solució única.
• Casos crítics $\det(A)=0$: $k=2$ o $k=4$. Cal estudiar rang($A$) i rang($A|B$). Per $k=2$:
  $$A=\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 2&3&2 \\ 3&2&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.$$
  Les files tenen dependència lineal: $;r_3=5r_1-r_2$. També $3=5\cdot1-2$, és a dir la mateixa combinació lineal s’aplica al costat dret. Això dona rang$(A)=$rang($A|B)=2$. Per tant infinitat de solucions (una família amb un paràmetre). Una descripció parametritzada:
  $$y=0,\quad x=1-z,$$
  és a dir $\displaystyle (x,y,z)=(1-t,0,t),\ t\in\mathbb{R}.$ Per $k=4$:
  $$A=\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 2&3&4 \\ 3&4&5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1\\ 2\\3\end{pmatrix}.$$
  Aquí $r_3=r_1+r_2$ i també $3=1+2$, de manera que rang$(A)=$rang$(A|B)=2$. Novament infinitat de solucions. Parametrització:
  $$y=-2z,\quad x=1+z,$$
  és a dir $\displaystyle (x,y,z)=(1+t,-2t,t),\ t\in\mathbb{R}.$
• No hi ha cap valor de $k$ per al qual el sistema sigui inconsistent $rang((A))<rang((A|B))$; els casos $k=2$ i $k=4$ resulten ser compatibles.

Resum final:

• $k\neq2,4$ ⇒ solució única.
• $k=2$ o $k=4$ ⇒ infinitat de solucions (un grau de llibertat).
• No existeix cap $k$ per al qual el sistema no tingui solució.