Dinàmica Gravitacional de la Voyager-2

L’any 1977 es va llançar a l’espai la sonda espacial Voyager-2, la qual, després de visitar els planetes exteriors del sistema solar, segueix avui dia una trajectòria de sortida del sistema amb una velocitat de 15 km/s. Actualment es troba a $1.8 \cdot 10^{10}$ km del Sol.

a) Determinar l’acceleració de la gravetat deguda al Sol en el punt on es troba la sonda actualment.

b) Calcular la velocitat mínima que hauria de tenir la sonda perquè pugui escapar del sistema solar des del punt on es troba actualment. Aconseguirà escapar si no rep cap impuls dels seus propulsors?

c) Suposant que el Sol, Júpiter i la Voyager-2 estiguessin alineats, determinar a quina distància de Júpiter el potencial gravitatori que sentiria la sonda degut al Sol seria igual al degut a Júpiter.

Dades: $G = 6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$; massa del Sol $M_{\text{Sol}} = 2 \cdot 10^{30} \, \text{kg}$; massa de Júpiter $= M_{\text{Sol}}/1000$; distància Sol-Júpiter $= 778 \, \text{milions de km}$.

a) L’acceleració de la gravetat és:
$$g = \frac{G M_S}{r^2} = \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \times 2 \cdot 10^{30}}{(1.8 \cdot 10^{10} \cdot 10^3)^2} = 4.1 \cdot 10^{-7} \, \text{m/s}^2$$

b) Per poder escapar, la velocitat ha de ser tal que l’energia cinètica compensi l’energia potencial (o, d’una altra manera, l’energia total ha de ser $E = E_c + E_p \geq 0$):
$$\frac{1}{2} m v^2 = G \frac{M_S m}{r} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2 G M_S}{r}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.67 \cdot 10^{-11} \times 2 \cdot 10^{30}}{1.8 \cdot 10^{10} \cdot 10^3}} = 3849 \, \text{m/s} = 3.8 \, \text{km/s}.$$
Com la velocitat que té la Voyager $15$ km/s) és major que $3.8$ km/s, escaparà del sistema solar sense necessitat de comunicar més energia.

c)

El potencial creat pel Sol és: $V_S = -G \displaystyle\frac{M_S}{r_J + d}$,
i el creat per Júpiter és: $V_J = -G \displaystyle\frac{M_J}{d}$.

Igualant ambdós potencials i aïllant $d$, tenim:
$$\frac{M_S}{r_J + d} = \frac{M_J}{d} \quad \Rightarrow \quad d = r_J \frac{M_J}{M_S – M_J} = \frac{1}{1000 – 1} r_J = \frac{1}{1000} r_J = \frac{778000}{1000} = 778000 \, \text{km} \quad (\text{a la dreta de Júpiter}).$$

Hi ha una altra solució i és si es dibuixa la Voyager entre el Sol i Júpiter, en aquest cas:
$$V_S = -G \frac{M_S}{r_J – d}, \quad V_J = -G \frac{M_J}{d} \quad (\text{amb } d > 0),$$
$$\Rightarrow d = r_J \frac{M_J}{M_S + M_J} = \frac{1}{1000 + 1} r_J = 778000 \, \text{km} \quad (\text{a l’esquerra de Júpiter}).$$