Dinàmica de fluids. Equació de continuïtat

Per la secció A d’una canonada de $7,5$ cm de diàmetre circula diòxid de carboni a una velocitat de $4,5$ m/s. La pressió manomètrica a A és de $2000$ Pa i la temperatura és de $21$ ºC. Al punt B, la pressió manomètrica és de $1500$ Pa i la temperatura és de $32$ ºC. Per a una pressió atmosfèrica de $101300$ Pa, calculeu la velocitat a B i compareu els cabals volumètrics a A i B. Suposeu que el diòxid de carboni compleix la llei dels gasos perfectes i que la seva massa molecular és de $44,0$ g/mol.

Per resoldre el problema, hem de calcular la velocitat del diòxid de carboni al punt B i comparar els cabals volumètrics als punts A i B, suposant que el diòxid de carboni es comporta com un gas perfecte amb una massa molecular de 44,0 g/mol. El problema proporciona les dades següents:

• Secció A:
• Diàmetre de la canonada: $7,5 \, \text{cm} = 0,075 \, \text{m}$.
• Velocitat: $v_A = 4,5 \, \text{m/s}$.
• Pressió manomètrica: $P_{\text{man},A} = 2000 \, \text{Pa}$.
• Temperatura: $T_A = 21 \, \text{ºC} = 21 + 273 = 294 \, \text{K}$.
• Secció B:
• Pressió manomètrica: $P_{\text{man},B} = 1500 \, \text{Pa}$.
• Temperatura: $T_B = 32 \, \text{ºC} = 32 + 273 = 305 \, \text{K}$.
• Altres dades:
• Pressió atmosfèrica: $P_{\text{atm}} = 101300 \, \text{Pa}$.
• Massa molecular del diòxid de carboni: $M = 44,0 \, \text{g/mol} = 0,044 \, \text{kg/mol}$.
• Constant universal dels gasos: $R = 8,314 \, \text{J/(mol·K)}$.

Assumim que la secció de la canonada és la mateixa en A i B (és a dir, el diàmetre no canvia, ja que no s’especifica el contrari) i que el flux és continu, per la qual cosa aplicarem l’equació de continuïtat i la llei dels gasos perfectes per relacionar les densitats i velocitats.

---

Pas 1: Calcular les pressions absolutes

La pressió manomètrica és la pressió relativa respecte a la pressió atmosfèrica. La pressió absoluta es calcula com:

$$P_{\text{abs}} = P_{\text{man}} + P_{\text{atm}}$$

• A la secció A:
  $$P_A = 2000 + 101300 = 103300 \, \text{Pa}$$
• A la secció B:
  $$P_B = 1500 + 101300 = 102800 \, \text{Pa}$$

---

Pas 2: Calcular la densitat del gas a A i B

Per a un gas perfecte, la llei dels gasos perfectes és:

$$P = \rho \frac{R}{M} T$$

On:

• $P$ és la pressió absoluta ($\text{Pa}$),
• $\rho$ és la densitat ($\text{kg/m}^3$),
• $R = 8,314 \, \text{J/(mol·K)}$,
• $M = 0,044 \, \text{kg/mol}$,
• $T$ és la temperatura absoluta ($\text{K}$).

Reorganitzem per trobar $\rho$:

$$\rho = \frac{P M}{R T}$$

• Densitat a A ($\rho_A$):
  $$\rho_A = \frac{P_A M}{R T_A} = \frac{103300 \cdot 0,044}{8,314 \cdot 294}\approx 1,859 \, \text{kg/m}^3$$
• Densitat a B ($\rho_B$):
  $$\rho_B = \frac{P_B M}{R T_B} = \frac{102800 \cdot 0,044}{8,314 \cdot 305} \approx 1,784 \, \text{kg/m}^3$$

---

Pas 3: Calcular l’àrea de la secció de la canonada

La canonada té un diàmetre de $7,5 \, \text{cm} = 0,075 \, \text{m}$, per tant, el radi és:

$$r = \frac{0,075}{2} = 0,0375 \, \text{m}$$

L’àrea de la secció transversal (circular) és:

$$A = \pi r^2 = \pi (0,0375)^2 = \pi \cdot 0,00140625 \approx 0,004418 \, \text{m}^2$$

Com que no s’especifica que el diàmetre canviï, assumim que l’àrea $A$ és la mateixa a A i B.

---

Pas 4: Calcular la velocitat a B ($v_B$)

Per a un flux continu, el caudal màssic és constant, és a dir:

$$\rho_A A v_A = \rho_B A v_B$$

Com que l’àrea $A$ és la mateixa a A i B, es simplifica:

$$\rho_A v_A = \rho_B v_B$$

Aïllem $v_B$:

$$v_B = \frac{\rho_A v_A}{\rho_B}$$

Substituïm els valors:

$$v_B = \frac{1,859 \cdot 4,5}{1,784} \approx \frac{8,3655}{1,784} \approx 4,69 \, \text{m/s}$$

Per tant, la velocitat a B és aproximadament:

$$v_B \approx 4,69 \, \text{m/s}$$

---

Pas 5: Comparar els cabals volumètrics a A i B

El caudal volumètric $Q$ es defineix com:

$$Q = A v$$

Com que l’àrea $A$ és la mateixa a A i B, calculem:

• Caudal volumètric a A:
  $$Q_A = A v_A = 0,004418 \cdot 4,5 \approx 0,019881 \, \text{m}^3/\text{s}$$
• Caudal volumètric a B:
  $$Q_B = A v_B = 0,004418 \cdot 4,69 \approx 0,02072 \, \text{m}^3/\text{s}$$

Comparació:

• $Q_A \approx 0,019881 \, \text{m}^3/\text{s}$
• $Q_B \approx 0,02072 \, \text{m}^3/\text{s}$

Observem que $Q_B > Q_A$, cosa que és coherent amb la llei dels gasos perfectes i el fet que la densitat a B és menor ($\rho_B < \rho_A$) a causa de la menor pressió i la major temperatura. Com que el caudal màssic és constant ($\rho_A v_A = \rho_B v_B$), una menor densitat a B implica una velocitat més gran, i per tant, un cabal volumètric més gran.

Per quantificar la diferència:

$$Q_B – Q_A \approx 0,02072 – 0,019881 \approx 0,000839 \, \text{m}^3/\text{s}$$

O expressat com a proporció:

$$\frac{Q_B}{Q_A} \approx \frac{0,02072}{0,019881} \approx 1,042$$

El cabal volumètric a B és aproximadament un $4,2\%$ més gran que a A.

---

Resposta final

• Velocitat a B: $v_B \approx 4,69 \, \text{m/s}$.
• Comparació dels cabals volumètrics:
• Cabal a A: $Q_A \approx 0,019881 \, \text{m}^3/\text{s}$.
• Cabal a B: $Q_B \approx 0,02072 \, \text{m}^3/\text{s}$.
• El cabal volumètric a B és aproximadament un 4,2% més gran que el cabal a A, a causa de la menor densitat del gas a B (menor pressió i major temperatura).