Determinar el caràcter de les sèries

Determina el caràcter de les següents sèries: a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n(2n+2)}$ b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^3 + 1}$

a) Sèrie divergent

Per determinar el caràcter de la sèrie, primer comprovem la condició necessària de convergència, que requereix que el límit del terme general tendeixi a zero:

\[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n(2n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 – 1}{4n^2 + 4n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 – \frac{1}{n^2}}{4 + \frac{4}{n}} = 1 \neq 0\]

Com que el límit no és zero, la sèrie no pot convergir i, per tant, és divergent.

b) Sèrie divergent

De nou, apliquem la condició necessària de convergència:

\[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^3 + 1}\]

El numerador creix exponencialment amb base 3, mentre que el denominador és un polinomi de grau 3. Per comparació d’ordres d’infinit, el terme tendeix a infinit:

\[\frac{3^n}{n^3 + 1} \sim \frac{3^n}{n^3} \to \infty \quad (n \to \infty)\]

Com que el límit no és zero (sinó infinit), la sèrie és divergent.