Determinació del Punt d’Impacte de la Pilota amb el Terra

Un noi que està a $4,0$ m d’una paret vertical llança una pilota, que surt de la mà del noi a $2,0$ m d’alçada respecte a terra i amb una velocitat inicial $\mathbf{v} = (10 \, \text{m/s}) \mathbf{i} + (10 \, \text{m/s}) \mathbf{j}$. Quan la pilota toca la paret, la component horitzontal de la velocitat canvia de signe i la component vertical es manté inalterada. On tocarà a terra la pilota?

Per resoldre aquest problema, analitzem el moviment de la pilota en dues etapes: abans i després de tocar la paret. El moviment es descriu en un sistema de coordenades on l’eix $x$ és horitzontal (positiu cap a la paret) i l’eix $y$ és vertical (positiu cap amunt). Prenem el terra com $y = 0$, el punt de llançament a $(0, 2)$, i la paret a $x = 4 \, \text{m}$. L’acceleració gravitacional és $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$ (cap avall).

1. Moviment fins a tocar la paret

Les condicions inicials són:

• Posició inicial: $(x_0, y_0) = (0, 2)$
• Velocitat inicial: $\mathbf{v}_0 = (10, 10) \, \text{m/s}$
• Acceleració: $\mathbf{a} = (0, -9,8) \, \text{m/s}^2$

Les equacions de posició són:
$$x(t) = 10 t,$$
$$y(t) = 2 + 10 t – \frac{1}{2} (9,8) t^2 = 2 + 10 t – 4,9 t^2.$$

La pilota toca la paret quan $x(t) = 4$:
$$10 t = 4 \implies t = 0,4 \, \text{s}.$$

Calculem l’alçada $y$ en aquest instant:
$$y(0,4) = 2 + 10 \cdot 0,4 – 4,9 \cdot (0,4)^2 = 2 + 4 – 4,9 \cdot 0,16 = 2 + 4 – 0,784 = 5,216 \, \text{m}.$$

Calculem la velocitat just abans de l’impacte:

• Component horitzontal: $v_x = 10 \, \text{m/s}$ (constant).
• Component vertical: $v_y = 10 – 9,8 \cdot 0,4 = 10 – 3,92 = 6,08 \, \text{m/s}$.

Així, la velocitat abans de l’impacte és $\mathbf{v} = (10, 6,08) \, \text{m/s}$.

2. Moviment després de tocar la paret

Quan la pilota toca la paret, la component horitzontal de la velocitat canvia de signe ($v_x = -10 \, \text{m/s}$), i la component vertical es manté ($v_y = 6,08 \, \text{m/s}$). La posició inicial després de l’impacte és $(4, 5,216)$.

Les noves equacions de posició són (amb $t’$ com el temps després de l’impacte):
$$x(t’) = 4 – 10 t’,$$
$$y(t’) = 5,216 + 6,08 t’ – 4,9 t’^2.$$

La pilota toca el terra quan $y(t’) = 0$:
$$5,216 + 6,08 t’ – 4,9 t’^2 = 0.$$

Reorganitzem:
$$4,9 t’^2 – 6,08 t’ – 5,216 = 0.$$

Resolem l’equació quadràtica $a t’^2 + b t’ + c = 0$, on $a = 4,9$, $b = -6,08$, $c = -5,216$:
$$\Delta = (-6,08)^2 – 4 \cdot 4,9 \cdot (-5,216) = 36,9664 + 102,2336 = 139,2.$$
$$t’ = \frac{6,08 \pm \sqrt{139,2}}{2 \cdot 4,9}.$$
$$\sqrt{139,2} \approx 11,7983, \quad t’ = \frac{6,08 \pm 11,7983}{9,8}.$$

• Solució positiva: $t’ = \frac{6,08 + 11,7983}{9,8} \approx 1,8243 \, \text{s}$.
• Solució negativa (descartada): $t’ \approx -0,5837 \, \text{s}$.

Calculem la posició $x$ quan $y = 0$:
$$x(1,8243) = 4 – 10 \cdot 1,8243 \approx 4 – 18,243 = -14,243 \, \text{m}.$$

Interpretació

El valor $x = -14,243 \, \text{m}$ indica que la pilota toca el terra a $14,243$ m a l’esquerra del punt de llançament (ja que $x = 0$ és el punt inicial). La distància absoluta des del noi és $|x| \approx 14,24 \, \text{m}$.

Resum de la resposta

La pilota tocarà a terra a una distància de $14,24$ m a l’esquerra del punt de llançament, és a dir, a la posició $x \approx -14,24 \, \text{m}$.