LEMNISCATA
Matemàtiques
Determineu el FEA de la xarxa alfa del Po ($M = 209$ g/mol), que és l’únic exemple conegut de xarxa cúbica simple (SC) formada per àtoms iguals. Finalment, determineu la seva densitat teòrica (experimental $= 9.4$ g · cm$^{−3}$) tenint en compte que la distància interatòmica és $3,352$ Å.
El Factor d’Empaquetament Atòmic (FEA) és la fracció del volum de la cel·la unitaria que està ocupada pels àtoms.
$$FEA = \frac{\text{Volum ocupat pels àtoms a la cel·la}}{\text{Volum total de la cel·la unitaria}}$$
En una xarxa cúbica simple (SC), cada cel·la unitaria conté $1$ àtom complet. A la xarxa cúbica simple, el diàmetre de l’àtom és igual a la longitud del costat de la cel·la unitaria ($a$):
$$a = 2r \implies r = \frac{a}{2}$$
Ens han donat la distància interatòmica:
$$a = 3,352 \, \text{Å} = 3,352 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$
Per tant, el radi atòmic és:
$$r = \frac{3,352 \times 10^{-8}}{2} = 1,676 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$
El volum de l’àtom és:
$$V_{\text{àtom}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (1,676 \times 10^{-8})^3 = 1,978 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$
El volum de la cel·la unitaria cúbica és el cub de la distància interatòmica:
$$V_{\text{cel·la}} = a^3 = (3,352 \times 10^{-8})^3 = 3,766 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$
El FEA és:
$$FEA = \frac{V_{\text{àtom}}}{V_{\text{cel·la}}} = \frac{1,978 \times 10^{-23}}{3,766 \times 10^{-23}} = 0,525$$
El Factor d’Empaquetament Atòmic (FEA) per la xarxa cúbica simple del Poloni és $52,5\%$.
La densitat teòrica $\rho$ d’un material cristal·lí es pot calcular amb la fórmula:
$$\rho = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot a^3}$$
On:
Substituïm els valors a la fórmula de la densitat:
$$\rho = \frac{1 \cdot 209}{6,022 \times 10^{23} \cdot (3,352 \times 10^{-8})^3}$$
Calculem el volum de la cel·la unitaria $a^3$:
$$a^3 = (3,352 \times 10^{-8})^3 = 3,766 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$
Ara, substituïm els valors:
$$\rho = \frac{209}{6,022 \times 10^{23} \cdot 3,766 \times 10^{-23}} = \frac{209}{2,267 \times 10^1} \approx 9,22 \, \text{g/cm}^3$$
La densitat teòrica del Poloni és aproximadament $9,22$ g/cm³.