Determinació del Factor d’Empaquetament Atòmic

Determinació del Factor d’Empaquetament Atòmic
8 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Física, Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

Determineu el FEA de la xarxa alfa del Po ($M = 209$ g/mol), que és l’únic exemple conegut de xarxa cúbica simple (SC) formada per àtoms iguals. Finalment, determineu la seva densitat teòrica (experimental $= 9.4$ g · cm$^{−3}$) tenint en compte que la distància interatòmica és $3,352$ Å.

1. Càlcul del Factor d’Empaquetament Atòmic (FEA)

El Factor d’Empaquetament Atòmic (FEA) és la fracció del volum de la cel·la unitaria que està ocupada pels àtoms.

$$FEA = \frac{\text{Volum ocupat pels àtoms a la cel·la}}{\text{Volum total de la cel·la unitaria}}$$

Pas 1: Volum d’un àtom

En una xarxa cúbica simple (SC), cada cel·la unitaria conté $1$ àtom complet. A la xarxa cúbica simple, el diàmetre de l’àtom és igual a la longitud del costat de la cel·la unitaria ($a$):

$$a = 2r \implies r = \frac{a}{2}$$

Ens han donat la distància interatòmica:

$$a = 3,352 \, \text{Å} = 3,352 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$

Per tant, el radi atòmic és:

$$r = \frac{3,352 \times 10^{-8}}{2} = 1,676 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$

El volum de l’àtom és:

$$V_{\text{àtom}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (1,676 \times 10^{-8})^3 = 1,978 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$

Pas 2: Volum total de la cel·la unitaria

El volum de la cel·la unitaria cúbica és el cub de la distància interatòmica:

$$V_{\text{cel·la}} = a^3 = (3,352 \times 10^{-8})^3 = 3,766 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$

Pas 3: FEA

El FEA és:

$$FEA = \frac{V_{\text{àtom}}}{V_{\text{cel·la}}} = \frac{1,978 \times 10^{-23}}{3,766 \times 10^{-23}} = 0,525$$

Resultat del FEA:

El Factor d’Empaquetament Atòmic (FEA) per la xarxa cúbica simple del Poloni és $52,5\%$.


2. Càlcul de la densitat teòrica del Poloni

La densitat teòrica $\rho$ d’un material cristal·lí es pot calcular amb la fórmula:

$$\rho = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot a^3}$$

On:

  • $n$ és el nombre d’àtoms per cel·la unitaria.
  • $M$ és la massa molar del material (g/mol).
  • $N_A$ és el número d’Avogadro $6,022 \times 10^{23}$ àtoms/mol.
  • $a$ és la longitud del costat de la cel·la unitaria en centímetres (cm).

Pas 1: Valors coneguts

  • En una xarxa cúbica simple (SC), el nombre d’àtoms per cel·la unitaria és $n = 1$.
  • La massa molar del Poloni és $M = 209 \, \text{g/mol}$.
  • El número d’Avogadro és $N_A = 6,022 \times 10^{23}$.
  • La longitud del costat de la cel·la unitaria és $a = 3,352 \times 10^{-8} \, \text{cm}$.

Pas 2: Aplicar la fórmula

Substituïm els valors a la fórmula de la densitat:

$$\rho = \frac{1 \cdot 209}{6,022 \times 10^{23} \cdot (3,352 \times 10^{-8})^3}$$

Calculem el volum de la cel·la unitaria $a^3$:

$$a^3 = (3,352 \times 10^{-8})^3 = 3,766 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$

Ara, substituïm els valors:

$$\rho = \frac{209}{6,022 \times 10^{23} \cdot 3,766 \times 10^{-23}} = \frac{209}{2,267 \times 10^1} \approx 9,22 \, \text{g/cm}^3$$

Resultat de la densitat teòrica:

La densitat teòrica del Poloni és aproximadament $9,22$ g/cm³.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *