Determinació del costat d’una quadrícula per plantar arbres

En un terreny rectangular de costats $64$ m i $80$ m, es volen plantar $357$ arbres formant una quadrícula regular. Quin serà el costat d’aquesta quadrícula? (Ajuda: En el costat més petit, per exemple, hi ha $64/x$ quadrícules, i un arbre més que el nombre de quadrícules.)

Per resoldre el problema, hem de trobar el costat $x$ de la quadrícula regular en un terreny rectangular de $64$ m per $80$ m, on es plantaran $357$ arbres situats a les interseccions de la quadrícula. La pista indica que, en el costat menor ($64$ m), el nombre de quadrícules és $\frac{64}{x}$, i el nombre d’arbres en aquest costat és $\frac{64}{x} + 1$. Procedim pas a pas.

---

Pas 1: Entendre la quadrícula i la relació amb els arbres

La quadrícula regular implica que els arbres es planten a les interseccions d’una malla rectangular. Si el costat de la quadrícula és $x$ metres:

• En el costat de $64$ m, el nombre de quadrícules és $\frac{64}{x}$, i el nombre d’arbres és $\frac{64}{x} + 1$.
• En el costat de $80$ m, el nombre de quadrícules és $\frac{80}{x}$, i el nombre d’arbres és $\frac{80}{x} + 1$.

El nombre total d’arbres és el producte dels arbres en cada costat:
$$\left( \frac{64}{x} + 1 \right) \cdot \left( \frac{80}{x} + 1 \right) = 357$$
A més, $\frac{64}{x}$ i $\frac{80}{x}$ han de ser enters perquè la quadrícula sigui regular.

---

Pas 2: Simplificar l’equació

Reescrivim els termes:
$$\frac{64}{x} + 1 = \frac{64 + x}{x}, \quad \frac{80}{x} + 1 = \frac{80 + x}{x}$$
L’equació esdevé:
$$\left( \frac{64 + x}{x} \right) \cdot \left( \frac{80 + x}{x} \right) = 357$$
Multipliquem per ( x^2 ) per eliminar els denominadors:
$$(64 + x)(80 + x) = 357x^2$$

---

Pas 3: Expandir i resoldre l’equació

Expandim el costat esquerre:
$$(64 + x)(80 + x) = 64 \cdot 80 + 64x + 80x + x^2 = 5120 + 144x + x^2$$
L’equació és:
$$x^2 + 144x + 5120 = 357x^2$$
Reorganitzem:
$$x^2 + 144x + 5120 – 357x^2 = 0$$
$$-356x^2 + 144x + 5120 = 0$$
Multipliquem per (-1):
$$356x^2 – 144x – 5120 = 0$$
Dividim per $4$:
$$89x^2 – 36x – 1280 = 0$$

---

Pas 4: Resoldre l’equació quadràtica

Utilitzem la fórmula quadràtica $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$, amb $a = 89$, $b = -36$, $c = -1280$.

Discriminant:
$$b^2 – 4ac = (-36)^2 – 4 \cdot 89 \cdot (-1280) = 1296 + 4 \cdot 89 \cdot 1280 = 1296 + 455680 = 456976$$
$$\sqrt{456976} = 676$$
Solucions:
$$x = \frac{36 \pm 676}{2 \cdot 89} = \frac{36 \pm 676}{178}$$

• $x = \frac{712}{178} = 4$
• $x = \frac{-640}{178} \approx -3.595$

Descartem la solució negativa. Per tant, $x = 4$.

---

Pas 5: Verificar la solució

Si $x = 4$:

• Costat de $64$ m: $\frac{64}{4} = 16$ quadrícules, $16 + 1 = 17$ arbres.
• Costat de $80$ m: $\frac{80}{4} = 20$ quadrícules, $20 + 1 = 21$ arbres.
• Total d’arbres: $17 \cdot 21 = 357$, correcte.

---

Pas 6: Comprovar altres solucions

El $x$ ha de ser un divisor comú de $64$ i $80$. El MCD és $16$, i els divisors comuns són $1, 2, 4, 8, 16$. Provem:

• $x = 1$: $65 \cdot 81 = 5265$, massa gran.
• $x = 2$: $33 \cdot 41 = 1353$, massa gran.
• $x = 8$: $9 \cdot 11 = 99$, massa petit.
• $x = 16$: $5 \cdot 6 = 30$, massa petit.

Només $x = 4$ funciona.

---

Resposta final:
El costat de la quadrícula és $4$ metres.