Determinació de l’altura de colpeig per al rodament sense lliscament d’una esfera

Una esfera de radi $r$ es troba en repòs sobre una superfície horitzontal. A quina altura $x$ sobre aquesta superfície s’ha de colpejar horitzontalment l’esfera perquè, des del principi, rodi sense lliscar?

Per resoldre aquest problema, hem d’assegurar que l’esfera, inicialment en repòs, comenci a rodar sense lliscar després de rebre un cop horitzontal. Això implica que la velocitat del centre de massa ($v_{\text{cm}}$) i la velocitat angular ($\omega$) han de complir la condició de rodament sense lliscament: $v_{\text{cm}} = \omega r$. Determinarem l’altura $x$ sobre la superfície on s’ha d’aplicar el cop.

Pas 1: Definicions i suposicions

1. Característiques de l’esfera:

• Esfera homogènia de massa $M$ i radi $r$.
• Moment d’inèrcia respecte al centre (eix perpendicular al pla):
  $$I = \frac{2}{5} M r^2 \tag{1}$$

1. Cop horitzontal:

• S’aplica un impuls $\vec{J} = J \hat{i}$ en la direcció horitzontal ($x$) a una altura $x$ sobre la superfície.
• La distància des del centre de l’esfera al punt d’impacte és $h = x – r$, ja que el centre està a una altura $r$ de la superfície.

1. Condició de rodament sense lliscament:

• Perquè l’esfera rodi sense lliscar, la velocitat del punt de contacte amb la superfície ha de ser zero:
  $$v_{\text{cm}} = \omega r \tag{2}\label{eq:2}$$

1. Fricció:

• Suposem que la fricció estàtica és suficient per evitar el lliscament, però no contribueix a l’impuls inicial, ja que el cop és instantani.

Pas 2: Efecte de l’impuls

L’impuls $\vec{J}$ modifica el moment lineal i el moment angular de l’esfera.

1. Canvi en el moment lineal:
   L’impuls actua horitzontalment, modificant la velocitat del centre de massa:
   $$J = M v_{\text{cm}} \tag{3}\label{eq:3}$$
   Aïllant $v_{\text{cm}}$:
   $$v_{\text{cm}} = \frac{J}{M} \tag{4}\label{eq:4}$$
2. Canvi en el moment angular:
   L’impuls s’aplica a una altura $x$ sobre la superfície, és a dir, a $h = x – r$ respecte al centre. El moment angular generat pel cop respecte al centre és:
   $$L = h J = (x – r) J \tag{5}\label{eq:mom}$$
   El moment angular també es pot expressar com:
   $$L = I \omega = \frac{2}{5} M r^2 \omega \tag{6}\label{eq:mom2}$$
   Igualant les equacions \eqref{eq:mom} i \eqref{eq:mom2}:
   $$(x – r) J = \frac{2}{5} M r^2 \omega \tag{7}\label{eq:7}$$
   Aïllant $\omega$:
   $$\omega = \frac{(x – r) J}{\frac{2}{5} M r^2} = \frac{5 (x – r) J}{2 M r^2} \tag{8}\label{eq:8}$$

Pas 3: Condició de rodament sense lliscament

Per complir la condició de rodament sense lliscament, substituïm $v_{\text{cm}}$ de l’equació \eqref{eq:4} i $\omega$ de l’equació \eqref{eq:8} en l’equació \eqref{eq:2}:
$$\frac{J}{M} = \left( \frac{5 (x – r) J}{2 M r^2} \right) r \tag{9}\label{eq:9}$$
Simplifiquem:
$$\frac{J}{M} = \frac{5 (x – r) J r}{2 M r^2} = \frac{5 (x – r) J}{2 M r} \tag{10}\label{eq:10}$$
Cancel·lem $J$ (assumint $J \neq 0$) i $M$:
$$1 = \frac{5 (x – r)}{2 r} \tag{11}\label{eq:11}$$
Multipliquem ambdós costats per $2 r$:
$$2 r = 5 (x – r) \tag{12}\label{eq:12}$$
Aïllant $x$:
$$x – r = \frac{2 r}{5} \tag{13}\label{eq:13}$$
$$x = r + \frac{2 r}{5} = \frac{5 r + 2 r}{5} = \frac{7 r}{5} \tag{14}\label{eq:14}$$

Pas 4: Verificació

L’altura $x = \frac{7 r}{5}$ està mesurada des de la superfície. Com que el centre de l’esfera està a una altura $r$, la distància des del centre al punt d’impacte és:
$$h = x – r = \frac{7 r}{5} – r = \frac{7 r – 5 r}{5} = \frac{2 r}{5} \tag{15}\label{eq:15}$$
Això indica que el cop s’aplica a $\frac{2 r}{5}$ per sobre del centre, cosa que és coherent, ja que $x = \frac{7 r}{5} < 2 r$, és a dir, el punt d’impacte està dins l’esfera.

Per verificar, substituïm $x = \frac{7 r}{5}$ en l’equació \eqref{eq:8}:
$$x – r = \frac{7 r}{5} – r = \frac{2 r}{5}$$
$$\omega = \frac{5 \left( \frac{2 r}{5} \right) J}{2 M r^2} = \frac{2 r J}{2 M r^2} = \frac{J}{M r} \tag{16}\label{eq:16}$$
Comprovem la condició de rodament:
$$\omega r = \frac{J}{M r} \cdot r = \frac{J}{M} = v_{\text{cm}} \tag{17}\label{eq:17}$$
La condició $v_{\text{cm}} = \omega r$ es compleix, confirmant que l’esfera roda sense lliscar.

Resposta final

L’altura $x$ sobre la superfície on s’ha de colpejar horitzontalment l’esfera perquè rodi sense lliscar des del principi és:
$$\boxed{x = \frac{7 r}{5}}$$