Determinació de l’Abast d’un Projectil sobre una Rampa Inclinada

Un projectil té una velocitat inicial de magnitud $v_0$ i angle $\phi$ sobre la superfície d’una rampa, que està inclinada $\theta$ sobre l’horitzontal. a) Calculeu la distància sobre la rampa del punt de llançament fins on l’objecte impacta amb la rampa. Doneu la resposta en funció de $v_0$, $g$, $\phi$ i $\theta$. b) Quin angle $\phi$ dóna un abast màxim sobre la rampa?

Per resoldre aquest problema, utilitzem les equacions del moviment d’un projectil en un pla inclinat. Establim un sistema de coordenades adaptat a la rampa: l’eix $x$ al llarg de la rampa (cap amunt) i l’eix $y$ perpendicular a la rampa (cap a fora). El punt de llançament és a l’origen $(0, 0)$.

Les components inicials de la velocitat són:

• $v_{0x} = v_0 \cos \phi$ (al llarg de la rampa),
• $v_{0y} = v_0 \sin \phi$ (perpendicular a la rampa).

Les components de l’acceleració deguda a la gravetat són:

• $a_x = -g \sin \theta$ (cap avall de la rampa),
• $a_y = -g \cos \theta$ (cap a la rampa).

Les equacions de posició són:
$$x(t) = v_0 \cos \phi \cdot t – \frac{1}{2} g \sin \theta \cdot t^2,$$
$$y(t) = v_0 \sin \phi \cdot t – \frac{1}{2} g \cos \theta \cdot t^2.$$

L’impacte amb la rampa ocorre quan $y(t) = 0$ (per $t > 0$):
$$v_0 \sin \phi \cdot t – \frac{1}{2} g \cos \theta \cdot t^2 = 0 \implies t = \frac{2 v_0 \sin \phi}{g \cos \theta}.$$

a) Distància sobre la rampa (abast $R$)

Substituïm $t$ a l’equació de $x(t)$:
$$R = x\left( \frac{2 v_0 \sin \phi}{g \cos \theta} \right) = v_0 \cos \phi \cdot \frac{2 v_0 \sin \phi}{g \cos \theta} – \frac{1}{2} g \sin \theta \cdot \left( \frac{2 v_0 \sin \phi}{g \cos \theta} \right)^2.$$

Simplifiquem:
Primer terme: $\frac{2 v_0^2 \cos \phi \sin \phi}{g \cos \theta}$,
Segon terme: $-\frac{2 v_0^2 \sin \theta \sin^2 \phi}{g \cos^2 \theta}$.

Combinem:
$$R = \frac{2 v_0^2}{g \cos^2 \theta} \left( \sin \phi \cos \phi \cos \theta – \sin \theta \sin^2 \phi \right) = \frac{2 v_0^2 \sin \phi \cos (\phi + \theta)}{g \cos^2 \theta}.$$

Aquesta és la distància sobre la rampa.

b) Angle $\phi$ per a l’abast màxim

Per maximitzar $R$, maximitzem la funció $f(\phi) = \sin \phi \cos (\phi + \theta)$. Prenem la derivada:
$$f'(\phi) = \cos \phi \cos (\phi + \theta) – \sin \phi \sin (\phi + \theta) = \cos (2\phi + \theta).$$

Igualem a zero: $\cos (2\phi + \theta) = 0 \implies 2\phi + \theta = \frac{\pi}{2}$ (considerant valors físics entre $0$ i $\pi/2$).
Així,
$$\phi = \frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2}.$$

Aquest és l’angle que proporciona l’abast màxim sobre la rampa.