Determinació de la composició d’una barreja de butà i propà a partir de la combustió

El gas butà comercial que es ven en bombones en realitat és una barreja de dos hidrocarburs: el butà $\text{C4H10}$ i el propà $\text{C3H8}$. La combustió d’aquests gasos són les reaccions químiques \begin{align*}\text{C$_4$H$_{10}$ + $\dfrac{13}{2}$ O$_2$} &\rightarrow \text{4 CO$_2$ + 5 H$_2$O} \\ \text{C$_3$H$_8$ + 5 O$_2$} &\rightarrow \text{3 CO$_2$ + 4 H$_2$O}\end{align*} Cremem 100 g de gas comercial d’una bombona, recollim en un condensador l’aigua que ha produït la combustió, i anomenem \(P\) al seu pes en g. Per a trobar les quantitats (en g) \(x\) de butà i \(y\) de propà contingudes en la mostra, quin dels següents sistemes lineals hem de resoldre?

El sistema lineal a resoldre és:\begin{align*}\begin{cases}x + y = 100 \\[1em]\dfrac{45}{29}\,x + \dfrac{18}{11}\,y = P\end{cases}\end{align*}

La primera equació prové de la massa total de la mostra de gas: \(x\) grams de butà més \(y\) grams de propà sumen 100 g. La segona equació s’obté a partir de la massa d’aigua produïda durant la combustió. Cal determinar la massa d’aigua produïda per gram de cada gas a partir de les reaccions donades.

$\textbf{Per al butà (C4H10):}$

• Massa molar = \(4 \times 12 + 10 \times 1 = 58\) g/mol.

• La reacció produeix 5 mols d’\ch{H2O} per mol de butà.

• Massa molar de l’aigua = 18 g/mol.

• Massa d’aigua per mol de butà = \(5 \times 18 = 90\) g.

• Massa d’aigua per gram de butà = \(\dfrac{90}{58} = \dfrac{45}{29}\) g (simplificat dividint numerador i denominador per 2).

• Per \(x\) grams de butà, la massa d’aigua és \(\dfrac{45}{29}x\).

$\textbf{Per al propà (C3H8):}$

• Massa molar = \(3 \times 12 + 8 \times 1 = 44\) g/mol.\item La reacció produeix 4 mols d’\ch{H2O} per mol de propà.
• Massa d’aigua per mol de propà = \(4 \times 18 = 72\) g.
• Massa d’aigua per gram de propà = \(\dfrac{72}{44} = \dfrac{18}{11}\) g (simplificat dividint per 4).
• Per \(y\) grams de propà, la massa d’aigua és \(\dfrac{18}{11}y\).

La massa total d’aigua \(P\) és la suma:\[\dfrac{45}{29}x + \dfrac{18}{11}y = P.\]$\textbf{Alternativa amb mols d’aigua:}$

• Mols d’aigua del butà = \(5 \times \dfrac{x}{58}\).

• Mols d’aigua del propà = \(4 \times \dfrac{y}{44}\).

• Mols totals d’aigua = \(\dfrac{P}{18}\).- Per tant:\[\dfrac{5x}{58} + \dfrac{4y}{44} = \dfrac{P}{18}.\]Multiplicant per 18 s’obté la mateixa segona equació.