Desintegració radioactiva d’una mostra

La radioactivitat d’una mostra de $10^{21}$ àtoms disminueix fins al $40\%$ al cap de $265$ dies. Calculeu: a) La constant de desintegració de la mostra. b) El període de semidesintegració de la mostra. c) El temps que ha de transcórrer fins que l’activitat de la mostra sigui de $10^{6}\,\mathrm{Bq}$.

a) $\textbf{Constant de desintegració de la mostra.}$

\[
t = 265\ \text{dies}\cdot\frac{24\ \text{h}}{\text{dia}}\cdot\frac{3600\ \text{s}}{\text{h}}
\approx 2,29\cdot10^{7}\ \text{s}
\]

Com que

\[
A=A_0e^{-\lambda t},
\]

tenim

\[
\ln\left(\frac{A}{A_0}\right)=-\lambda t.
\]

Substituint \(A=0,4A_0\),

\[
\ln\left(\frac{0,4A_0}{A_0}\right)=-\lambda t,
\]

d’on

\[
\lambda=\frac{-\ln(0,4)}{2,29\cdot10^{7}}
\approx 4,0\cdot10^{-8}\ \text{s}^{-1}.
\]

b) $\textbf{Període de semidesintegració de la mostra.}$

El període de semidesintegració és

\[
T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}
=\frac{\ln 2}{4,0\cdot10^{-8}}
\approx 1,73\cdot10^{7}\ \text{s}
\approx 200,6\ \text{dies}.
\]

c) $\textbf{Temps necessari perquè l’activitat de la mostra sigui de \(10^{6}\,\mathrm{Bq}\).}$

L’activitat inicial és

\[
A_0=\lambda N_0
=4,0\cdot10^{-8}\cdot10^{21}
=4,0\cdot10^{13}\ \mathrm{Bq}.
\]

Utilitzant de nou

\[
A=A_0e^{-\lambda t},
\]

obtenim

\[
\ln\left(\frac{A}{A_0}\right)=-\lambda t,
\]

i, per tant,

\[
t=
-\frac{\ln\left(\dfrac{A}{A_0}\right)}{\lambda}
=
-\frac{\ln\left(\dfrac{10^{6}}{4,0\cdot10^{13}}\right)}
{4,0\cdot10^{-8}}
\approx 4,38\cdot10^{8}\ \text{s}
\approx 5069,4\ \text{dies}.
\]